桶排序--平均情况下时间代价为O(n)的排序算法

    在介绍了计数排序和基数排序两种线性时间复杂度的排序算法之后，我们来介绍第三种时间复杂度为线性，平均情况下的时间代价为O(n)的的排序算法--桶排序。

一、适用情况

    这种排序假设输入数据服从均匀分布，而且需要已知待排序列的大概范围，是一种空间换时间的排序算法。

二、基本思想

    对于一个待排序列，我们已知它的大概范围的时候，我们把这个范围分为n个相同大小的子区间，也就是我们说的桶，我们这里用数组的每一个元素代表一个桶。然后我们就可以把输入数据分道各个桶之中，因为我们前面假设了输入数据是均匀分布的情况，所以不会出现很多数落在同一个桶的情况。当然还是会出现多个数字落在同一个桶的情况，这时我们就会为当前桶生成一个链表，以此来维护一个桶之中的多个元素（像不像解决哈希冲突的拉链法）。对于一个桶之中的多个元素，我们使用插入排序，来保证这个链表是有序的。之后我们就获得了n个桶以及这n个桶对应的有序链表，我们遍历每个桶中的链表，就获得了排序的结果。

三、运行过程

    假如现在我们需要对以下序列进行排序：

    我们首先将[0,99]这个范围平均分成10个桶，分别代表范围[0,9],[10,19],...,[90,99]。

    然后一一把这些数据放入对应的桶中：

   

    放入21的时候没有什么问题，接下来我们放入23，发现这个桶已经有元素了，我们把23和这个桶的元素比较，放在链表适当的位置：

    后面都一样，直到我们把所有元素都放入桶中：

    到这个时候我们就可以开始遍历整个n个桶，得到排序结果：0 21 23 24 32 58 79 99

四、代码实现

    我们使用Java来实现这个算法：

    public static int[] bucketSort(int[] arr, int bucketSize){
        int[] result = new int[arr.length];//排序好的结果数组
        @SuppressWarnings("unchecked")
        LinkedList[] bucket = new LinkedList[bucketSize];//桶数组
        for(int i = 0; i < bucketSize; i++){
            //使bucket[i]称为一个空链表
            bucket[i] = new LinkedList();
        }
        //将arr[i]插入到 bucket数组 如果数组位置上已经有元素 则插入到其位置的链表的指定位置
        for(int i = 0; i < arr.length; i++){
            int bucketLocation = arr[i]/bucketSize;
            int insertLocation = 0; //待插入位置
            for(insertLocation = 0; insertLocation < bucket[bucketLocation].size() && bucket[bucketLocation].get(insertLocation) < arr[i] ; insertLocation++);
            bucket[bucketLocation].add(insertLocation, arr[i]);
        }
        for(int i = 0,j = 0; i < bucket.length; i++){
            Iterator iterator = bucket[i].iterator();
            while(iterator.hasNext()){
                result[j++] = iterator.next();
            }
        }
        return result;
    }

    这里需要注意一点，我的代码桶中的链表使用的是java.util.LinkedList这个链表，它的add会遍历一次链表，因此增加了算法的时间。事实上我们完全可以自己写自己的链表，确定插入位置insertLocation之后直接把结点插入指定位置，也就是找到待插入位置的前一个结点，直接插入，而不需要再遍历一遍链表才插入。

五、时间复杂度分析和时间比较

    桶排序是在比较同一个桶内的元素的时候使用了插入排序，插入排序是稳定的，当然桶排序也是稳定的。这里不做过多证明了，直观上来看桶排序的时间代价T(n) = Θ(n) + O(n0 ^ 2) + O(n1 ^ 2) + ... + O(n(n-1)^2)，其中n0,n1,n(n-1)中表示n和n的下标。但是平均情况下的时间代价是Θ(n)，也就是是线性时间完成的。