矩阵论-线性变换的特征值与特征变换

综述

本系列博文主要总结学习矩阵论的心得笔记，参考数目《矩阵论》–张凯院；整个文章的整理体系参照行书过程。

1.2 线性变换及其矩阵

1.2.3 特征值与特征向量

本节讨论如何选择线性空间的基，使得线性变换在该组基下的矩阵表示最简单。而线性变换的特征值与特征向量对于线性变换的研究起着至关重要的作用 。

特征值与特征向量具有十分鲜明的几何意义：特征向量x经过线性变换后方向保持不变，长度发生$\lambda$倍。严格的数学定义为：
设数域K上的线性空间$V_n$中有一线性变换T，对K中的某一数$\lambda$存在非零向量$x\in V_n$使得
$$Tx=\lambda x(1)$$
成立，则称$\lambda$为T的特征值，x为T的属于$\lambda$的特征向量。特征向量不是被特征值唯一确定的，可以存在K倍特征向量关系。特征值却被特征向量唯一确定。

特征多项式： 在线性空间中引入基后产生坐标，即上述线性变换在空间$V_n$的一组基$x_1,x_2,x_3,...,x_n$下的矩阵为A,特征向量x在基下的坐标表示为：$({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n{)}^T$,则定义式（1）的坐标表示方法为:
$$A\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ...\\ {\xi }_n\end{array}\right]\end{array}=\lambda \begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ...\\ {\xi }_n\end{array}\right]\end{array}(2)$$
移项可得：
$$(A-\lambda I)\begin{array}{c}\left[\begin{array}{c}{\xi }_1\\ {\xi }_2\\ ...\\ {\xi }_n\end{array}\right]\end{array}=0(3)$$
由于特征向量x非零，所以上式的解由矩阵$(A-\lambda I)$的行列式确定。当$det(A-\lambda I)=0$时，方程组（3）有非零解。我们称$det(A-\lambda I)=0$为A的特征多项式，特征多项式的零点（$det(A-\lambda I)=0$的解$\lambda$）为A 的特征值，将特征值$\lambda$带入方程组(3)解得的向量$({\xi }_1,{\xi }_2,...,{\xi }_n{)}^T$为A对应与特征值$\lambda$的特征向量。

**综上：**求一个线性变换的特征值与特征向量，只需找一组基，将线性变换表成基下矩阵的形式，求该矩阵的特征值与特征向量即可。

依据根与系数的关系有：
特征值的和=矩阵的迹
$$\sum _{i=1}^n{\lambda }_i=\sum _{i=1}^n{a}_{ii}=trA$$
特征值的积=矩阵的行列式
$${\Pi }_{i=1}^n{\lambda }_i=detA$$