看图轻松理解数据结构与算法系列(二叉搜索树)

前言

推出一个新系列，《看图轻松理解数据结构和算法》，主要使用图片来描述常见的数据结构和算法，轻松阅读并理解掌握。本系列包括各种堆、各种队列、各种列表、各种树、各种图、各种排序等等几十篇的样子。

关于树

对于树的数据结构大家都了解，只是树的类型有很多，所以可能又会对树产生一种陌生感。树其实就是由有限n(n>=1)个节点组成的一个具有层次关系的集合，它看起来像一棵倒挂的树，所以称之为“树”。

树的特点

• 每个节点有若干个或0个子节点；
• 根节点没有父节点；
• 每一个非根节点有且只有一个父节点；
• 每个子节点可以分为多个不相交的子树；

二叉搜索树

二叉搜索树(Binary Search Tree，简写BST)，又称为二叉排序树，属于树的一种，通过二叉树将数据组织起来，树的每个节点都包含了健值 key、数据值 data、左子节点指针、右子节点指针。其中健值 key 是最核心的部分，它的值决定了树的组织形状；数据值 data 是该节点对应的数据，有些场景可以忽略，举个例子，key 为身份证号而 data 为人名，通过身份证号找人名；左子节点指针指向左子节点；右子节点指针指向右子节点。

二叉搜索树特点

• 左右子树也分别是二叉搜索树。
• 左子树的所有节点 key 值都小于它的根节点的 key 值。
• 右子树的所有节点 key 值都大于他的根节点的 key 值。
• 二叉搜索树可以为一棵空树。
• 一般来说，树中的每个节点的 key 值都不相等，但根据需要也可以将相同的 key 值插入树中。

插入操作

1. 如果为空树则将插入节点作为根节点。
2. 如果不为空树则从根节点开始，比较插入节点与根节点的 key 值，值相同则不做任何处理直接返回，大于则继续比较右子节点R，小于则继续比较左子节点L。
3. 右子节点R与插入节点比较，插入节点的 key 值大的话则继续往R节点的右子节点比较，小于的话则继续往R节点左子节点比较。
4. 以此类推不断往下寻找，直到找到左子节点指针或右子节点指针为空的节点，将插入节点放进去。

对于下面这棵树，插入D和H，

创建D节点并与根节点比较，

D 小于 E，于是往左子节点继续比较，

D 大于 C，应该往右子节点方向，而此时 C 节点的右子节点指针为空，D 节点可以放置进去。

同样的，对于 H 节点，先创建 H 节点并与根节点比较，

H 大于 E，于是往右子节点继续比较，

H 大于 G，应该往右子节点方向，而此时 G 节点的右子节点指针为空，H 节点可以放置进去。

插入顺序性

二叉搜索树的形状与节点插入顺序不同而可能不同，比如对于A B C D E F G H这些节点集，按E C A B D G F H顺序插入则为，

而如果调换前面两个节点，按照C E A B D G F H顺序插入则如下图，形状差别还是挺大的，

极端情况下，按照A B C D E F G H顺序插入，则为，

查询操作

1. 则从根节点开始，比较查询节点与根节点的 key 值，值相同则表示找到该节点，直接返回，大于则继续往右子节点R查找，小于则继续往左子节点L查找。
2. 右子节点R与查询节点比较，查询节点的 key 值大的话则继续往R节点的右子节点查找，小于的话则继续往R节点左子节点查找。
3. 以此类推不断往下寻找，直到找到节点的 key 值与查询节点的相同，则表示查找成功，如果最终找不到则说明不存在该节点。

对于下图的树查找 key 值为“B”和“G”的节点，

“B”与根节点的 key 值比较，

“B”小于“E”，往左子节点继续寻找，

“B”小于“C”，往左子节点继续寻找，

“B”大于“A”，往右子节点继续寻找，两者相等，找到。

继续查询 key 值为“G”的节点，与根节点比较，

“G”大于“E”，往右子节点，两者相等，找到。

删除操作

删除操作分三种情况进行，

• 如果删除的节点为叶子节点，即它的左子节点指针和右子节点指针都为空时，则可以直接删掉该节点，并不会影响整棵树的结构。
• 如果删除的节点只有一个子节点(左子节点或右子节点)，则直接将子节点提升到被删除的节点位置。
• 如果删除的节点有两个子节点，此时需要找到删除节点的中序后继或中序前驱来填补删除节点，中序后继其实就是所有大于删除节点中最小的那个，而中序前驱就是所有小于删除节点中最大的那个，因为二叉搜索树经过中序遍历后是一个递增序列，所以后继就是删除节点的后面那个节点，大于且大得最少的那个，比如1 2 3 4 5中4就是3的后继。前驱就是删除节点前面那个节点，比如1 2 3 4 5中2就是3的前驱。

情况一

删除“B”叶子结点，从根节点开始查找，

找到，直接删除，

情况二

假如树的结构如下图，现在要删除“C”节点，

从根节点开始找，

找到“C”节点，直接将原来指向“C”节点的右子节点指针指向“C”的子节点，

最终为，

情况三

要在如下的树中删除“E”节点，

“E”节点存在两个子节点，于是开始寻找“E”节点的中序前驱来替换它，前驱在左子节点“C”下最大值的那个节点，

要找“C”节点下最大值节点则一直往右，

直到不能继续往下，即“D”节点即是前驱，用“D”节点来替换“E”节点，

最终实现将“E”节点删除。

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