几种滤波器频域时域表示

因为做卷积反投影，所以需要推导滤波函数在时域的表达。

R-L 滤波器

$$H_{RL}(w)=\{\begin{array}{ccc}|w|& & |w|\le w_m\\ 0& & |w|>w_m\end{array}$$

可以通过mathematical推导其Fourier逆变换。
语句如下：

最初做就使用R-L滤波器，离散化采样有：
$$h(nd)=\frac{(cos(n\pi )-1)}{2{\pi }^2(nd{)}^2}$$
分情况讨论：

• n=0时，$$h(nd)=\frac{1}{4d^2}$$
• n为奇数，$$h(nd)=0$$
• n为偶数，$$h(nd)=-\frac{1}{{\pi }^2(nd{)}^2}$$

S-L滤波器

频域形式为：
$$H_{SL}(w)=|w|sinc(\frac{\pi w}{2w_m})rect(\frac{w}{w_m})$$
其中：
$$rect(x)=\{\begin{array}{ccc}1& & |x|\le 1\\ 0& & otherwise\end{array}$$

Cosine 滤波器

频域形式为：
$$H_{CL}(w)=|w|cos(\frac{\pi w}{2w_m})rect(\frac{w}{w_m})$$

Hamming滤波器

$$H_{CL}(w)=|w|(cos(\frac{\pi w}{2w_m})(1-\alpha )+\alpha )rect(\frac{w}{w_m})$$

CBP重建公式

CBP:$$f(x_1,x_2)={\int }_0^{\pi }[\hat{f}(r,\varphi )\ast h(r){]}_{r=(x_1,x_2)\cdot \varphi }d\varphi$$
第一步时域滤波
$$g(nd,\varphi )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }\hat{f}(nd,\varphi )h(nd-md)d$$
对其离散化有：
$$f(x_1,x_2)\approx \sum _{m=1}^{M}g(r,{\varphi }_m{)}_{r=(x_1,x_2)\cdot {\varphi }_m}\Delta \varphi$$