详细的频域滤波学习笔记（1）--基础概念介绍

滤波器：抑制或最小化某些频率的波或振荡的装置或材料。
频率：自变量单位变化期间，一个周期函数重复相同值序列的次数

1. 背景
  傅里叶指出，任何一个周期函数都可以表示为不同频率的正弦和/或余弦项乘以不同系数（现在称该和为傅里叶级数）

2.基本概念
2.1复数

  复数C的定义如下：
               C=R + jI
其中，R和I是实数，j是一个等于-1的平方根的虚数，即j=$\sqrt{-}1$。R表示复数的实部，I是复数的虚部。复数从几何的角度可以看成是平面上的一个点（称为复平面）。其横坐标就是实轴（R的值），纵坐标为虚轴（I的值）。也就是说复数R + jI是复平面坐标系统中的点（R，I）。同样，复数可以在极坐标下表示：

其中，|C|是复平面的原点到点（R，I）的向量的长度，θ是该向量与实轴的夹角。同时，有著名的欧拉公式

其中，e=2.71828……，因此在极坐标下复数又可以表示成：

2.2傅里叶级数

  前面指出，具有周期T的连续变量t的周期函数f(t)可以被描述为乘以适当系数的正弦和余弦和，这就是傅里叶级数，其表现形式如下：

其中，

2.3冲激极其取样特性

  在线性系统和傅里叶变换研究中，其核心是冲激及其取样特性。连续变量t在t=0处的单位冲激表示为下式，其定义为

该单位冲激满足等式：

如果我们把t理解为时间，那么一个冲激就可以看作是一个幅值为无穷，持续时间为0.具有单位面积的尖峰信号。一个冲激具有如下积分的取样特性：

这个性质很好理解，只有当t为0时被积函数的值才不为零，而积分结果就是函数f（t）在冲激位置（t=0）的值。如果想得到任意位置的值也很简单，可以表示任意点t0的冲激，其取样特性变为

离散的冲激也有类似的形式和结果

2.4连续变量函数的傅里叶变换

  这里直接给出傅里叶变换公式，函数f（t）的傅里叶变换为：

同样可以得到傅里叶反变换的表达式：

使用欧拉公式对傅里叶变换进行变形，有如下形式：

这里给出一个求傅里叶变换的例子

2.5卷积

  我们知道在空间域进行滤波是通过卷积运算得到处理后的函数，在空间域中卷积定义如下：

其中负号表示函数关于原点的翻转，t是一个函数滑过另一个函数的位移，只是积分假变量。我们根据傅里叶变换的公式来求出卷积在频域的表达形式，

由以上推导有以下结论，f(t)*h(t)和H(u)F(u)是傅里叶变换对，他们有以下关系

因此有结论：空间域中两个函数的卷积的傅里叶变换等于两个函数的傅里叶变换的乘积。

3.取样和取样函数得的傅里叶变换

3.1取样

  在用计算机进行处理之前，连续函数必须转换成离散值序列，这一过程就是通过取样和量化来实现的。这里举一个例子，就一个连续函数f(t)来说，想要对该函数进行取样，我们以独立变量t的均匀间隔（ΔT）取样，我们可以用一个ΔT单位间隔的冲激函数作为取样函数去乘以f（t），即有，

上面的等式很容易得到，这一和式的每一个分量都是由在该冲激位置处f（t）的值加权后的冲激，每个取样值由加权后的冲激强度给出，可以通过积分来得到

这样结果由原始函数的等间隔取样组成

3.2取样函数的傅里叶变换

  令F（u）为连续函数f（t）的傅里叶变换，通过上一节的内容可知，连续函数f（t）取样后的相应函数是f（t）与一个冲激串的乘积。由卷积定理可知，空间域的两个函数的乘积的傅里叶变换是两个函数在频域的卷积，由此可以得到下式

其中S（u）是冲激串的傅里叶变换，我们对F（u）和S(u)做卷积

虽然是取样后的函数，但是其变换是连续的，因为他由F（u）的几个拷贝组成，所以F（u）是一个连续函数。1/ΔT是用于生成取样后的函数的取样率，因此不同的采样率会使得结果不一样

3.3取样定理

  学过数字信号处理的都知道经典的采样定理。采样定理指出如果以超过函数最高频率的两倍的取样率来获得样本，连续的带限函数可以完全从他的样本中恢复。
用公式表示为

我们称完全等于最高频率的两倍的取样率称为奈奎斯特取样率。对于以原点为中心的有限区间之外的频率值，其傅里叶变换为零的函数f（t）称为带限函数。如果采样频率低于奈奎斯特频率将会发生混叠，无论用什么滤波器都不可能分离出单个周期的带限函数。发生这种情况是不可避免的，我们只能采取一些措施来降低影响，在实践中我们可以通过平滑输入函数减少高频分量的方法来降低混叠的影响。

参考资料：数字图像处理（第三版）冈萨雷斯