乘法逆元入门（四种方法及补充）

原因

在一些题目中，因为数据量会特别大甚至超过ll，所以会要求最后结果mod一个数，实际上就是让你在计算过程中就要不断mod
对于加法：$(a+b)\%m=(a\%m+b\%m)\%m$
对于减法：$(a-b)\%m=(a\%m-b\%m)\%m$
对于乘法：$(a\ast b)\%m=(a\%m\ast b\%m)\%m$
但是这个规则在除法不适用：简单例子比如$(\frac{30}{7})\%2$
为了对除法也能进行模运算，就需要乘法逆元

什么是乘法逆元

若c是b的逆元，则有$b\ast c\equiv 1(modm)$,称c为b关于m的乘法逆元
例如$b=10,m=3$时
$c=4$
令$a=20,(20/10)\%3=2,(20\ast 4)\%3=2$
令$a=40,(40/10)\%3=1,(40\ast 4)\%3=1$

现在我们要求(a/b)%m,可以找到一个c使得(a/b)%m=(a*c)%m

求法

1.费马小定理

如果p是一个质数，而整数a不是p的倍数，则有a^（p-1）≡1（mod p）

所以可得a^（p-2) ≡ a^-1（mod p）

换成代码如下

(a/b)%m
(a*pow(b,m-2))%m

这里还需要快速幂来配合计算

ll quick_pow(ll x,ll n,ll m)
{
	ll res = 1;
	while(n > 0)
	{
		if(n & 1)
            res = res * x % m;
		x = x * x % m;
		n >>= 1;
	}
	return res;
}  
ll inv(ll a)
{
    return quick_pow(a,mod - 2,mod);
}

2.扩展欧几里得

扩展欧几里得算法（英语：Extended Euclidean algorithm）是欧几里得算法（又叫辗转相除法）的扩展。已知整数a、b，扩展欧几里得算法可以在求得a、b的最大公约数的同时，能找到整数x、y（其中一个很可能是负数），使它们满足贝祖等式ax+by=gcd(a,b)

贝祖定理：即如果a、b是整数，那么一定存在整数x、y使得ax+by=gcd(a,b)。
如果a是负数，可以把问题转化成|a|(-x)+by=gcd(|a|,b)，然后令x’=(-x)。

ll gcdEx(ll a,ll b,ll &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0 ;
        return a ;
    }
    else
    {
        int r=gcdEx(b,a%b,x,y);
        /* r = GCD(a, b) = GCD(b, a%b) */
        int t=x ;
        x=y ;
        y=t-a/b*y ;
        return r ;
    }
}

gcd(a,m)=1!!!
当y=0,逆元即ax+my=1 (mod m)中的x
利用欧几里得算法不断递归直到x=1,y=0—>反向递归求出第一层的x和y，x即为a模m的逆元。

ll inv(ll a,ll m)
{
    ll x,y;
    if(gcdEx(a,m,x,y)!=1)
        return -1;//不互质 不存在逆元
    return (x%m+m)%m;
}

3.递归

当m是质数
inv(a) = (m - m / a) * inv(m % a) % m
暴力反向递归

ll inv2(ll a,ll m)//代入a%m m
{
    return a==1?1:(m-m/a)*inv2(m%a,m)%m;
}

4.线性递推

求关于一个m的多个逆元，道理差不多

ll m=3;
ll inv[m+5];
void inv3(ll m)
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<m;i++)
        inv[i]=(m-m/i)*inv[m%i]%m;
}

除了以上几种，还有穷举、二进制扩展、牛顿迭代法等等
以下是关于以上方法的证明：
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扩展欧几里得更多
递归更多
线性递推更多