大二下：概率论与数理统计复习 期末试题B

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一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）

1. $已知P(A\cup B)=0.6,P(B)=0.3，则P(A\overline{B})=\underline{0.3}.$
   解：$\because P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
   $\therefore P(A)-P(AB)=0.3$
   $P(A\overline{B})=P(A)-P(B)=P(A)-P(AB)=0.3$

2. $设X服从二项分布b(3,0.6)，则Var(X)=\underline{0.72}.$
   解：$\because 对于二项分布B(n,p)，其方差为np(1-p)$
   $\therefore Var(X)=3\times 0.6\times 0.4=1.8\times 0.4=0.72$

3. $设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=\{\begin{array}{rlr}& a,& x^2\le y\le x\\ & 0,& 其他\end{array},则a=\underline{6}.$
   解：
   
   $$\begin{array}{rl}1& ={\int }_0^1{\int }_{x^2}^{x}adydx\\ 1& ={\int }_0^{1}ay{|}_{x^2}^{x}dx\\ 1& ={\int }_0^{1}ax-a{x}^{2}dx\\ 1& =(\frac{1}{2}a{x}^2-\frac{1}{3}a{x}^3){|}_0^1\\ 1& =\frac{1}{6}a\\ a& =6\end{array}$$

4. $设X\sim F_{m,n},则\frac{1}{X}\sim \underline{F_{n,m}}.$
   解：$F分布的性质：F\sim F(n_1,n_2)，则\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1).$

5. 设总体$X\sim B(1,p),X_1,...,X_n$是从总体$X$中抽取的一个样本，则参数$p$的矩估计量$\hat{p}=\underline{\frac{\overline{x}}{n}}.$
   解：$$

6. 设$X_1,X_2,...,X_n$为来自正态总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的简单样本，${\sigma }^2$已知，则均值$\mu$的置信系数为$1-\alpha$的置信区间为$\underline{[\overline{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\frac{\alpha }{2}},\overline{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\frac{\alpha }{2}}]}.$
   解：设$X_1,X_2,...,X_n$为来自正态总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$的简单样本，${\sigma }^2$已知，则均值$\mu$的置信系数为$1-\alpha$的置信区间为$\underline{[\overline{X}-\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\frac{\alpha }{2}},\overline{X}+\frac{\sigma }{\sqrt{n}}{Z}_{\frac{\alpha }{2}}]}.$

二、单项选择题（每小题4 分，共20 分）

7. $设A,B,C三事件两两独立，则A,B,C相互独立的充要条件是(A).$
   $$\begin{array}{rlr}& A.A与BC独立& B.AB与A\cup C独立\\ & C.AB与AC独立& D.A\cup B与A\cup C独立\end{array}$$
   解：
   $$\begin{array}{rl}A和B相对独立& \iff \mathbf{P}(\mathbf{A}\mathbf{B})=\mathbf{P}(\mathbf{A})\mathbf{P}(\mathbf{B})\\ & A和B同时发生的概率=A发生的概率\times B发生的概率\end{array}$$

   • $A、B、C事件相互独立等价于：P(ABC)=P(A)P(BC)=P(B)P(AC)=P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(C);$
   • $A、B、C事件两两独立等价于：P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C).$

8. $已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则n,p的值(B).$
   $$\begin{array}{rlr}& A.4,0.6& B.6,0.4\\ & C.8,0.3& D.24,0.1\end{array}$$
   解：
   $$\begin{array}{rl}& 对于二项分布B(n,p)：\\ & 分布律或概率密度为：P\{x=k\}=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{1-k}，\\ & 数学期望：np，\\ & 方差：np(1-p)。\end{array}$$

9. $设X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),Y服从期望为\lambda 的泊松分布,则下列不正确的是(C).$
   $A.E(X+Y)=\mu +\lambda$
   $B.E(X^2+Y^2)={\sigma }^2+{\mu }^2+{\lambda }^2+\lambda$
   $C.Var(X+Y)={\sigma }^2+\lambda$
   $D.E(X^2)={\sigma }^2+{\mu }^2,Var(Y)=\lambda$
   $解析：$
   $对于正态分布X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)，E(X)=\mu ，Var(X)={\sigma }^2,E(X^2)={\sigma }^2+{\mu }^2$
   $对于泊松分布Y\sim P(\lambda )或\pi (\lambda )，E(Y)=\lambda ，Var(Y)=\lambda ,E(Y^2)={\lambda }^2+\lambda$
   $E(X+Y)=E(X)+E(Y)$
   $设X与Y相互独立，则：$
   $Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)$
   $本题中由于无法判断X与Y是否相互独立，因此无法进一步推出Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)，进而C选项错误。$

10. $设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为F_x(X)和F_y(Y),则随机变量Z=min(X,Y)的分布函数为(B).$
    $$\begin{array}{ll}\text{ A. }1-F_X(x)F_Y(y)& B.1-\left[1-F_X(x)\right]\cdot \left[1-F_Y(y)\right]\\ \text{ C. }\left[1-F_X(x)\right]\cdot \left[1-F_Y(y)\right]& D.F_X(x)F_Y(y)\end{array}$$
    $解：$
    $设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为F_x(X)和F_y(Y),则随机变量Z=min(X,Y)的分布函数为:1-\left[1-F_X(x)\right]\cdot \left[1-F_Y(y)\right]，Z=max(X,Y)的分布函数为:F_X(x)F_Y(y)$

三、计算题（第12-14 题，每题8 分；第15-16 题，每题10 分；第17 题12 分；共56 分）

12. 设两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.06，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品的概率．
    $解：$
    $设A=\{零件是废品\},B_1=\{零件由第一台机床加工\},B_2=\{零件由第二台机床加工\},则$
    $$\begin{array}{rlr}& P(B_1)=\frac{1}{3},& P(B_2)=\frac{2}{3}\\ & P(A|B_1)=0.03,& P(A|B_2)=0.06\end{array}$$
    $由全概率公式，得$
    $$\begin{array}{rl}P(A)& =P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)\\ & =\frac{1}{3}\times \frac{3}{100}+\frac{2}{3}\times \frac{6}{100}\\ & =0.01+0.04\\ & =0.05\end{array}$$
    $P(\overline{A})=1-P(A)=0.95$
    $\therefore 任意取出的零件是合格品的概率为0.95$
13. $设随机变量X的概率密度函数为$$f(x)=\{\begin{array}{r}kx+1,0\le x\le 2\\ 0,其他\end{array}$$，求：$
    $（1）常数k.（2）X的分布函数.（3）P\{1<x\le \frac{3}{2}\}$
    $解：$
    $(1){\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)dx=1\Rightarrow {\int }_{-\infty }^{+\infty }kx+1dx=1$
    $\Rightarrow {\int }_0^{2}kx+1dx=1\Rightarrow (\frac{k{x}^2}{2}+x){|}_0^2\widehat{=}1\Rightarrow 2k+2=1\Rightarrow k=-0.5$
    $(2)显然此分布函数的分段点为0和2，则：$
    $当x<0时，F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt=0;$
    $当0\le x\le 2时，F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt={\int }_0^x-0.5t+1dt=(-0.25t^2+t){|}_0^x=-0.25x^2+x$
    $当x\ge 2时，F(x)={\int }_{-\infty }^{x}f(t)dt={\int }_{-\infty }^{0}f(t)dt+{\int }_0^{2}f(t)dt+{\int }_2^{+\infty }f(t)dt=1;$
    所以，随机变量的分布函数为：$F(x)=\{\begin{array}{rlr}& 0,& x<0\\ & -0.25x^2+x,& 0\le x<2\\ & 1,& x\ge 2\end{array}$
    $(3)P\{1<x\le \frac{3}{2}\}={\int }_1^{\frac{3}{2}}-0.5x+1dx=(-0.25x^2+x){|}_1^{\frac{3}{2}}$
    $=(-\frac{1}{4}\times \frac{9}{4}+\frac{3}{2})-(\frac{3}{4})=\frac{24}{16}-\frac{9}{16}-\frac{12}{16}=\frac{3}{16}$
    注：分布函数是右连续的，一般左边要考虑等号。密度函数就无所谓了，等号可加可不加，一般不用加。若加，应和分布函数保持一致。
14. $设随机变量X\sim U(0,\pi )，试求随机变量Y=\cos X的概率密度函数．$
    $解：$
    $由均匀分布U(a,b)的概率密度函数f(x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{1}{b-a},& a<x<b\\ & 0,& 其他\end{array},$
    $得U(0,\pi )的概率密度函数为f(x)=\{\begin{array}{rlr}& \frac{1}{\pi },& 0<x<\pi \\ & 0,& 其他\end{array}$
    

15. $设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+\frac{xy}{3},& 0\le x\le 1,0\le y\le 2\\ 0,& 其他\end{array},求边缘概率密度函数f_X(x),f_Y(y).$
    $解：$
    $\because 当0\le x\le 1时，f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy={\int }_0^2{x}^2+\frac{xy}{3}dy=(x^{2}y+\frac{x{y}^2}{6}){|}_0^2=2x^2+\frac{2x}{3}，其他情形，显然f_X(x)=0.$
    $\therefore X的边缘概率密度函数为f_X(x)=\{\begin{array}{ll}2x^2+\frac{2x}{3},& 0\le x\le 1\\ 0,& 其他\end{array}$
    $\because 当0\le y\le 2时，f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx={\int }_0^1{x}^2+\frac{xy}{3}dx=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^{2}y}{6}){|}_0^1=\frac{2+y}{6}，其他情形，显然f_Y(y)=0.$
    $\therefore Y的边缘概率密度函数为f_Y(y)=\{\begin{array}{ll}\frac{2+y}{6},& 0\le y\le 2\\ 0,& 其他\end{array}$
    $附：二维离散型随机变量的分布及独立性$

名称	定义
边缘概率密度	$$\begin{array}{c}X的边缘概率密度：f_X(x)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dy\\ Y的边缘概率密度：f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x,y)dx\end{array}$$

16. $设Var(X)=25,Var(Y)=36,{\rho }_{XY}=0.4,求Var(X+Y)和Var(2X-Y).$
    $解：$
    $\because {\rho }_{XY}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}}$
    $\therefore Cov(X,Y)={\rho }_{XY}\times \sqrt{Var(X)Var(Y)}=0.4\times \sqrt{25\times 36}=12$
    $\therefore Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)=73$
    $Var(2X-Y)=Var(2X)+Var(Y)-2Cov(2X,Y)$
    $=4Var(X)+Var(Y)-4Cov(X,Y)=100+36-48=88$
    $附：$
    $协方差性质：$
17. $Cov(X,Y)=Cov(Y,X)$
18. $Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b为常数)$
19. $Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y)$
20. $D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)$
    $D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)$