大二下：概率论与数理统计复习 期末试题B
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- 一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
- 二、单项选择题（每小题4 分，共20 分）
- 三、计算题（第12-14 题，每题8 分；第15-16 题，每题10 分；第17 题12 分；共56 分）
一、填空题（每小题 4 分，共 24 分）
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已 知 P ( A ∪ B ) = 0.6 , P ( B ) = 0.3 ， 则 P ( A B ‾ ) = 0.3 ‾ . 已知P(A\cup B)=0.6,P(B)=0.3，则P(A\overline{B})=\underline{\ 0.3\ }. 已知P(A∪B)=0.6,P(B)=0.3，则P(AB)= 0.3 .
解： ∵ P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) − P ( A B ) \because P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) ∵P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(AB)
∴ P ( A ) − P ( A B ) = 0.3 \therefore P(A)-P(AB)=0.3 ∴P(A)−P(AB)=0.3
P ( A B ‾ ) = P ( A ) − P ( B ) = P ( A ) − P ( A B ) = 0.3 P(A\overline{B})=P(A)-P(B)=P(A)-P(AB)=0.3 P(AB)=P(A)−P(B)=P(A)−P(AB)=0.3 -
设 X 服 从 二 项 分 布 b ( 3 , 0.6 ) ， 则 V a r ( X ) = 0.72 ‾ . 设X服从二项分布b(3,0.6)，则Var(X)=\underline{\ 0.72\ }. 设X服从二项分布b(3,0.6)，则Var(X)= 0.72 .
解： ∵ 对 于 二 项 分 布 B ( n , p ) ， 其 方 差 为 n p ( 1 − p ) \because对于二项分布B(n,p)，其方差为np(1-p) ∵对于二项分布B(n,p)，其方差为np(1−p)
∴ V a r ( X ) = 3 × 0.6 × 0.4 = 1.8 × 0.4 = 0.72 \therefore Var(X)=3\times0.6\times0.4=1.8\times0.4=0.72 ∴Var(X)=3×0.6×0.4=1.8×0.4=0.72 -
设 二 维 随 机 变 量 ( X , Y ) 的 概 率 密 度 函 数 为 f ( x , y ) = { a , x 2 ≤ y ≤ x 0 , 其 他 , 则 a = 6 ‾ . 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)=\left\{\begin{aligned}&a,&x^2\le y\le x\\&0,&其他\end{aligned}\right., 则a=\underline{\ 6\ }. 设二维随机变量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={a,0,x2≤y≤x其他,则a= 6 .
解：
1 = ∫ 0 1 ∫ x 2 x a d y d x 1 = ∫ 0 1 a y ∣ x 2 x d x 1 = ∫ 0 1 a x − a x 2 d x 1 = ( 1 2 a x 2 − 1 3 a x 3 ) ∣ 0 1 1 = 1 6 a a = 6 \begin{aligned} 1&=\int_0^1\int_{x^2}^xadydx\\ 1&=\int_0^1ay|_{x^2}^xdx\\ 1&=\int_0^1ax-ax^2dx\\ 1&=(\frac{1}{2}ax^2-\frac{1}{3}ax^3)|_0^1\\ 1&=\frac{1}{6}a\\ a&=6 \end{aligned} 11111a=∫01∫x2xadydx=∫01ay∣x2xdx=∫01ax−ax2dx=(21ax2−31ax3)∣01=61a=6 -
设 X ∼ F m , n , 则 1 X ∼ F n , m ‾ . 设X\sim F_{m,n}, 则\frac{1}{X}\sim\underline{\ F_{n,m} \ }. 设X∼Fm,n,则X1∼ Fn,m .
解： F 分 布 的 性 质 ： F ∼ F ( n 1 , n 2 ) ， 则 1 F ∼ F ( n 2 , n 1 ) . F分布的性质：F\sim F(n_1,n_2)，则\frac{1}{F}\sim F(n_2,n_1). F分布的性质：F∼F(n1,n2)，则F1∼F(n2,n1). -
设总体 X ∼ B ( 1 , p ) , X 1 , . . . , X n X\sim B(1,p),X_1,...,X_n X∼B(1,p),X1,...,Xn是从总体 X X X中抽取的一个样本，则参数 p p p的矩估计量 p ^ = x ‾ n ‾ . \hat{p}=\underline{\ \frac{\overline{x}}{n} \ }. p^= nx .
解：$$ -
设 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn为来自正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)的简单样本， σ 2 \sigma^2 σ2已知，则均值 μ \mu μ的置信系数为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间为 [ X ‾ − σ n Z α 2 , X ‾ + σ n Z α 2 ] ‾ . \underline{\ [\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}] \ }. [X−nσZ2α,X+nσZ2α] .
解：设 X 1 , X 2 , . . . , X n X_1,X_2,...,X_n X1,X2,...,Xn为来自正态总体 N ( μ , σ 2 ) N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2)的简单样本， σ 2 \sigma^2 σ2已知，则均值 μ \mu μ的置信系数为 1 − α 1-\alpha 1−α的置信区间为 [ X ‾ − σ n Z α 2 , X ‾ + σ n Z α 2 ] ‾ . \underline{\ [\overline{X}-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}, \overline{X}+\frac{\sigma}{\sqrt{n}}Z_{\frac{\alpha}{2}}] \ }. [X−nσZ2α,X+nσZ2α] .
二、单项选择题（每小题4 分，共20 分）
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设 A , B , C 三 事 件 两 两 独 立 ， 则 A , B , C 相 互 独 立 的 充 要 条 件 是 ( A ) . 设A,B,C三事件两两独立，则A,B,C相互独立的充要条件是(A). 设A,B,C三事件两两独立，则A,B,C相互独立的充要条件是(A).
A . A 与 B C 独 立 B . A B 与 A ∪ C 独 立 C . A B 与 A C 独 立 D . A ∪ B 与 A ∪ C 独 立 \begin{aligned} &A.\ A与BC独立&B.\ AB与A\cup C独立\\ &C.\ AB与AC独立&D.\ A\cup B与A\cup C独立 \end{aligned} A. A与BC独立C. AB与AC独立B. AB与A∪C独立D. A∪B与A∪C独立
解：
A 和 B 相 对 独 立 ⇔ P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) A 和 B 同 时 发 生 的 概 率 = A 发 生 的 概 率 × B 发 生 的 概 率 \begin{aligned} A和B相对独立&\Leftrightarrow \bf{P(AB)=P(A)P(B)} \\ &\qquad A和B同时发生的概率=A发生的概率\times B发生的概率\\ \end{aligned} A和B相对独立⇔P(AB)=P(A)P(B)A和B同时发生的概率=A发生的概率×B发生的概率- A 、 B 、 C 事 件 相 互 独 立 等 价 于 ： P ( A B C ) = P ( A ) P ( B C ) = P ( B ) P ( A C ) = P ( C ) P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) P ( C ) ; A、B、C事件相互独立等价于：P(ABC)=P(A)P(BC)=P(B)P(AC)=P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(C); A、B、C事件相互独立等价于：P(ABC)=P(A)P(BC)=P(B)P(AC)=P(C)P(AB)=P(A)P(B)P(C);
- A 、 B 、 C 事 件 两 两 独 立 等 价 于 ： P ( A B ) = P ( A ) P ( B ) ， P ( B C ) = P ( B ) P ( C ) ， P ( A C ) = P ( A ) P ( C ) . A、B、C事件两两独立等价于：P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C). A、B、C事件两两独立等价于：P(AB)=P(A)P(B)，P(BC)=P(B)P(C)，P(AC)=P(A)P(C).
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已 知 随 机 变 量 X 服 从 二 项 分 布 ， 且 E ( X ) = 2.4 , V a r ( X ) = 1.44 , 则 n , p 的 值 ( B ) . 已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则n,p的值(B). 已知随机变量X服从二项分布，且E(X)=2.4,Var(X)=1.44,则n,p的值(B).
A . 4 , 0.6 B . 6 , 0.4 C . 8 , 0.3 D . 24 , 0.1 \begin{aligned} &A.\ 4, 0.6&B.\ 6, 0.4\\ &C.\ 8, 0.3&D.\ 24, 0.1 \end{aligned} A. 4,0.6C. 8,0.3B. 6,0.4D. 24,0.1
解：
对 于 二 项 分 布 B ( n , p ) ： 分 布 律 或 概 率 密 度 为 ： P { x = k } = C n k p k ( 1 − p ) 1 − k ， 数 学 期 望 ： n p ， 方 差 ： n p ( 1 − p ) 。 \begin{aligned} &对于二项分布B(n,p)：\\ &\qquad分布律或概率密度为：P\{x=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{1-k}，\\ &\qquad数学期望：np，\\ &\qquad方差：np(1-p)。 \end{aligned} 对于二项分布B(n,p)：分布律或概率密度为：P{x=k}=Cnkpk(1−p)1−k，数学期望：np，方差：np(1−p)。 -
设 X ∼ N ( μ , σ 2 ) , Y 服 从 期 望 为 λ 的 泊 松 分 布 , 则 下 列 不 正 确 的 是 ( C ) . 设X\sim N(\mu,\sigma^2) ,Y服从期望为\lambda的泊松分布,则下列不正确的是(C). 设X∼N(μ,σ2),Y服从期望为λ的泊松分布,则下列不正确的是(C).
A . E ( X + Y ) = μ + λ A.\ E(X+Y)=\mu+\lambda A. E(X+Y)=μ+λ
B . E ( X 2 + Y 2 ) = σ 2 + μ 2 + λ 2 + λ B.\ E(X^2+Y^2)=\sigma^2+\mu^2+\lambda^2+\lambda B. E(X2+Y2)=σ2+μ2+λ2+λ
C . V a r ( X + Y ) = σ 2 + λ C.\ Var(X+Y)=\sigma^2+\lambda C. Var(X+Y)=σ2+λ
D . E ( X 2 ) = σ 2 + μ 2 , V a r ( Y ) = λ D.\ E(X^2)=\sigma^2+\mu^2,Var(Y)=\lambda D. E(X2)=σ2+μ2,Var(Y)=λ
解 析 ： 解析： 解析：
对 于 正 态 分 布 X ∼ N ( μ , σ 2 ) ， E ( X ) = μ ， V a r ( X ) = σ 2 , E ( X 2 ) = σ 2 + μ 2 对于正态分布X\sim N(\mu,\sigma^2)，E(X)=\mu，Var(X)=\sigma^2,E(X^2)=\sigma^2+\mu^2 对于正态分布X∼N(μ,σ2)，E(X)=μ，Var(X)=σ2,E(X2)=σ2+μ2
对 于 泊 松 分 布 Y ∼ P ( λ ) 或 π ( λ ) ， E ( Y ) = λ ， V a r ( Y ) = λ , E ( Y 2 ) = λ 2 + λ 对于泊松分布Y\sim P(\lambda)或\pi(\lambda)，E(Y)=\lambda，Var(Y)=\lambda,E(Y^2)=\lambda^2+\lambda 对于泊松分布Y∼P(λ)或π(λ)，E(Y)=λ，Var(Y)=λ,E(Y2)=λ2+λ
E ( X + Y ) = E ( X ) + E ( Y ) E(X+Y)=E(X)+E(Y) E(X+Y)=E(X)+E(Y)
设 X 与 Y 相 互 独 立 ， 则 ： 设X与Y相互独立，则： 设X与Y相互独立，则：
V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) \qquad Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y) Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)
本 题 中 由 于 无 法 判 断 X 与 Y 是 否 相 互 独 立 ， 因 此 无 法 进 一 步 推 出 V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) ， 进 而 C 选 项 错 误 。 本题中由于无法判断X与Y是否相互独立，因此无法进一步推出Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)，进而C选项错误。 本题中由于无法判断X与Y是否相互独立，因此无法进一步推出Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)，进而C选项错误。 -
设 X 与 Y 为 相 互 独 立 的 随 机 变 量 , 其 分 布 函 数 分 别 为 F x ( X ) 和 F y ( Y ) , 则 随 机 变 量 Z = m i n ( X , Y ) 的 分 布 函 数 为 ( B ) . 设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为F_x(X)和F_y(Y),则随机变量 Z=min(X,Y)的分布函数为(B). 设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为Fx(X)和Fy(Y),则随机变量Z=min(X,Y)的分布函数为(B).
A. 1 − F X ( x ) F Y ( y ) B . 1 − [ 1 − F X ( x ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( y ) ] C. [ 1 − F X ( x ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( y ) ] D . F X ( x ) F Y ( y ) \begin{array}{ll}{\text { A. } 1-F_{X}(x) F_{Y}(y)} & {B.\ 1-\left[1-F_{X}(x)\right] \cdot\left[1-F_{Y}(y)\right]} \\ {\text { C. }\left[1-F_{X}(x)\right] \cdot\left[1-F_{Y}(y)\right]} & {D.\ F_{X}(x) F_{Y}(y)}\end{array} A. 1−FX(x)FY(y) C. [1−FX(x)]⋅[1−FY(y)]B. 1−[1−FX(x)]⋅[1−FY(y)]D. FX(x)FY(y)
解 ： 解： 解：
设 X 与 Y 为 相 互 独 立 的 随 机 变 量 , 其 分 布 函 数 分 别 为 F x ( X ) 和 F y ( Y ) , 则 随 机 变 量 Z = m i n ( X , Y ) 的 分 布 函 数 为 : 1 − [ 1 − F X ( x ) ] ⋅ [ 1 − F Y ( y ) ] ， Z = m a x ( X , Y ) 的 分 布 函 数 为 : F X ( x ) F Y ( y ) 设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为F_x(X)和F_y(Y),则随机变量 Z=min(X,Y)的分布函数为:1-\left[1-F_{X}(x)\right] \cdot\left[1-F_{Y}(y)\right]，Z=max(X,Y)的分布函数为:F_X(x)F_Y(y) 设X与Y为相互独立的随机变量,其分布函数分别为Fx(X)和Fy(Y),则随机变量Z=min(X,Y)的分布函数为:1−[1−FX(x)]⋅[1−FY(y)]，Z=max(X,Y)的分布函数为:FX(x)FY(y)
三、计算题（第12-14 题，每题8 分；第15-16 题，每题10 分；第17 题12 分；共56 分）
- 设两台机床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.06，已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，加工出来的零件放在一起，求：任意取出的零件是合格品的概率．
解 ： 解： 解：
设 A = { 零 件 是 废 品 } , B 1 = { 零 件 由 第 一 台 机 床 加 工 } , B 2 = { 零 件 由 第 二 台 机 床 加 工 } , 则 设A=\{零件是废品\},\ B_1=\{零件由第一台机床加工\}, \ B_2=\{零件由第二台机床加工\},\ 则 设A={零件是废品}, B1={零件由第一台机床加工}, B2={零件由第二台机床加工}, 则
P ( B 1 ) = 1 3 , P ( B 2 ) = 2 3 P ( A ∣ B 1 ) = 0.03 , P ( A ∣ B 2 ) = 0.06 \begin{aligned} &P(B_1)=\frac{1}{3},&P(B_2)=\frac{2}{3}\\ &P(A|B_1)=0.03,&P(A|B_2)=0.06 \end{aligned} P(B1)=31,P(A∣B1)=0.03,P(B2)=32P(A∣B2)=0.06
由 全 概 率 公 式 ， 得 由全概率公式，得 由全概率公式，得
P ( A ) = P ( B 1 ) P ( A ∣ B 1 ) + P ( B 2 ) P ( A ∣ B 2 ) = 1 3 × 3 100 + 2 3 × 6 100 = 0.01 + 0.04 = 0.05 \begin{aligned} P(A)&=P(B_1)P(A|B_1)+P(B_2)P(A|B_2)\\ &=\frac{1}{3}\times\frac{3}{100}+\frac{2}{3}\times\frac{6}{100}\\ &=0.01+0.04\\ &=0.05 \end{aligned} P(A)=P(B1)P(A∣B1)+P(B2)P(A∣B2)=31×1003+32×1006=0.01+0.04=0.05
P ( A ‾ ) = 1 − P ( A ) = 0.95 P(\overline{A})=1-P(A)=0.95 P(A)=1−P(A)=0.95
∴ 任 意 取 出 的 零 件 是 合 格 品 的 概 率 为 0.95 \therefore 任意取出的零件是合格品的概率为0.95 ∴任意取出的零件是合格品的概率为0.95 - 设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 函 数 为 设随机变量X的概率密度函数为 设随机变量X的概率密度函数为 f ( x ) = { k x + 1 , 0 ≤ x ≤ 2 0 , 其 他 f(x)=\left\{\begin{array}{r}{kx+1,0 \leq x \leq 2} \\ {0, \quad 其他}\end{array}\right. f(x)={kx+1,0≤x≤20,其他 ， 求 ： ，求： ，求：
（ 1 ） 常 数 k . （ 2 ） X 的 分 布 函 数 . （ 3 ） P { 1 < x ≤ 3 2 } （1）常数k.（2） X 的分布函数.（3）P\{1
解 ： 解： 解：
( 1 ) ∫ − ∞ + ∞ f ( x ) d x = 1 ⇒ ∫ − ∞ + ∞ k x + 1 d x = 1 (1)\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1\Rightarrow\int_{-\infty}^{+\infty}kx+1dx=1 (1)∫−∞+∞f(x)dx=1⇒∫−∞+∞kx+1dx=1
⇒ ∫ 0 2 k x + 1 d x = 1 ⇒ ( k x 2 2 + x ) ∣ 0 2 = ^ 1 ⇒ 2 k + 2 = 1 ⇒ k = − 0.5 \Rightarrow\int_0^2kx+1dx=1\Rightarrow(\frac{kx^2}{2}+x)|_0^2\hat=1\Rightarrow2k+2=1\Rightarrow k=-0.5 ⇒∫02kx+1dx=1⇒(2kx2+x)∣02=^1⇒2k+2=1⇒k=−0.5
( 2 ) 显 然 此 分 布 函 数 的 分 段 点 为 0 和 2 ， 则 ： (2)显然此分布函数的分段点为0和2，则： (2)显然此分布函数的分段点为0和2，则：
当 x < 0 时 ， F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t = 0 ; 当x<0时，F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=0; 当x<0时，F(x)=∫−∞xf(t)dt=0;
当 0 ≤ x ≤ 2 时 ， F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t = ∫ 0 x − 0.5 t + 1 d t = ( − 0.25 t 2 + t ) ∣ 0 x = − 0.25 x 2 + x 当0\le x\le2时，F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\int_0^x-0.5t+1dt=(-0.25t^2+t)|_0^x=-0.25x^2+x 当0≤x≤2时，F(x)=∫−∞xf(t)dt=∫0x−0.5t+1dt=(−0.25t2+t)∣0x=−0.25x2+x
当 x ≥ 2 时 ， F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t = ∫ − ∞ 0 f ( t ) d t + ∫ 0 2 f ( t ) d t + ∫ 2 + ∞ f ( t ) d t = 1 ; 当x\ge2时，F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt=\int_{-\infty}^0f(t)dt+\int_0^2f(t)dt+\int_2^{+\infty}f(t)dt=1; 当x≥2时，F(x)=∫−∞xf(t)dt=∫−∞0f(t)dt+∫02f(t)dt+∫2+∞f(t)dt=1;
所以，随机变量的分布函数为： F ( x ) = { 0 , x < 0 − 0.25 x 2 + x , 0 ≤ x < 2 1 , x ≥ 2 F(x)=\left\{\begin{aligned} &0, &x<0\\ &-0.25x^2+x, &0\le x<2\\&1, &x\ge2\end{aligned}\right. F(x)=⎩⎪⎨⎪⎧0,−0.25x2+x,1,x<00≤x<2x≥2
( 3 ) P { 1 < x ≤ 3 2 } = ∫ 1 3 2 − 0.5 x + 1 d x = ( − 0.25 x 2 + x ) ∣ 1 3 2 (3)P\{1
= ( − 1 4 × 9 4 + 3 2 ) − ( 3 4 ) = 24 16 − 9 16 − 12 16 = 3 16 =(-\frac{1}{4}\times\frac{9}{4}+\frac{3}{2})-(\frac{3}{4})=\frac{24}{16}-\frac{9}{16}-\frac{12}{16}=\frac{3}{16} =(−41×49+23)−(43)=1624−169−1612=163
注：分布函数是右连续的，一般左边要考虑等号。密度函数就无所谓了，等号可加可不加，一般不用加。若加，应和分布函数保持一致。 - 设 随 机 变 量 X ∼ U ( 0 , π ) ， 试 求 随 机 变 量 Y = cos X 的 概 率 密 度 函 数 ． 设随机变量X\sim U(0,\pi)，试求随机变量Y=\cos X的概率密度函数． 设随机变量X∼U(0,π)，试求随机变量Y=cosX的概率密度函数．
解 ： 解： 解：
由 均 匀 分 布 U ( a , b ) 的 概 率 密 度 函 数 f ( x ) = { 1 b − a , a < x < b 0 , 其 他 , 由均匀分布U(a,b)的概率密度函数f(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{b-a}, &a
得 U ( 0 , π ) 的 概 率 密 度 函 数 为 f ( x ) = { 1 π , 0 < x < π 0 , 其 他 得U(0,\pi)的概率密度函数为f(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac1\pi, &0
- 设 二 维 随 机 向 量 ( X , Y ) 的 概 率 密 度 函 数 为 f ( x , y ) = { x 2 + x y 3 , 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 2 0 , 其 他 , 求 边 缘 概 率 密 度 函 数 f X ( x ) , f Y ( y ) . 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}x^2+\frac{xy}{3}, & {0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2} \\ {0,} & 其他\end{array}\right.,求边缘概率密度函数f_X(x),f_Y(y). 设二维随机向量(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)={x2+3xy,0,0≤x≤1,0≤y≤2其他,求边缘概率密度函数fX(x),fY(y).
解 ： 解： 解：
∵ 当 0 ≤ x ≤ 1 时 ， f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y = ∫ 0 2 x 2 + x y 3 d y = ( x 2 y + x y 2 6 ) ∣ 0 2 = 2 x 2 + 2 x 3 ， 其 他 情 形 ， 显 然 f X ( x ) = 0. \because 当0\le x\le1时，f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy=\int_0^2x^2+\frac{xy}{3}dy=(x^2y+\frac{xy^2}{6})|_0^2=2x^2+\frac{2x}{3}，其他情形，显然f_X(x)=0. ∵当0≤x≤1时，fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dy=∫02x2+3xydy=(x2y+6xy2)∣02=2x2+32x，其他情形，显然fX(x)=0.
∴ X 的 边 缘 概 率 密 度 函 数 为 f X ( x ) = { 2 x 2 + 2 x 3 , 0 ≤ x ≤ 1 0 , 其 他 \therefore X的边缘概率密度函数为f_X(x)=\left\{\begin{array}{ll}2x^2+\frac{2x}{3}, & 0 \leq x \leq 1\\ 0, & 其他\end{array}\right. ∴X的边缘概率密度函数为fX(x)={2x2+32x,0,0≤x≤1其他
∵ 当 0 ≤ y ≤ 2 时 ， f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x = ∫ 0 1 x 2 + x y 3 d x = ( x 3 3 + x 2 y 6 ) ∣ 0 1 = 2 + y 6 ， 其 他 情 形 ， 显 然 f Y ( y ) = 0. \because 当0\le y\le2时，f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx=\int_0^1x^2+\frac{xy}{3}dx=(\frac{x^3}{3}+\frac{x^2y}{6})|_0^1=\frac{2+y}{6}，其他情形，显然f_Y(y)=0. ∵当0≤y≤2时，fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx=∫01x2+3xydx=(3x3+6x2y)∣01=62+y，其他情形，显然fY(y)=0.
∴ Y 的 边 缘 概 率 密 度 函 数 为 f Y ( y ) = { 2 + y 6 , 0 ≤ y ≤ 2 0 , 其 他 \therefore Y的边缘概率密度函数为f_Y(y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2+y}{6}, & 0 \le y \le2\\ 0, & 其他\end{array}\right. ∴Y的边缘概率密度函数为fY(y)={62+y,0,0≤y≤2其他
附 ： 二 维 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 及 独 立 性 附：二维离散型随机变量的分布及独立性 附：二维离散型随机变量的分布及独立性
| 名称 | 定义 |
|---|---|
| 边缘概率密度 | X 的 边 缘 概 率 密 度 ： f X ( x ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d y Y 的 边 缘 概 率 密 度 ： f Y ( y ) = ∫ − ∞ + ∞ f ( x , y ) d x \begin{array}{cc}X的边缘概率密度：f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\\Y的边缘概率密度：f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx\end{array} X的边缘概率密度：fX(x)=∫−∞+∞f(x,y)dyY的边缘概率密度：fY(y)=∫−∞+∞f(x,y)dx |
- 设 V a r ( X ) = 25 , V a r ( Y ) = 36 , ρ X Y = 0.4 , 求 V a r ( X + Y ) 和 V a r ( 2 X − Y ) . 设Var(X)=25 ,Var(Y)=36 ,\rho_{\tiny{XY}}=0.4,求Var(X+Y)和Var(2X-Y). 设Var(X)=25,Var(Y)=36,ρXY=0.4,求Var(X+Y)和Var(2X−Y).
解 ： 解： 解：
∵ ρ X Y = C o v ( X , Y ) V a r ( X ) V a r ( Y ) \because \LARGE \rho_{\tiny{XY}}=\frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} ∵ρXY=Var(X)Var(Y)Cov(X,Y)
∴ C o v ( X , Y ) = ρ X Y × V a r ( X ) V a r ( Y ) = 0.4 × 25 × 36 = 12 \therefore Cov(X,Y)=\rho_{\tiny{XY}}\times\sqrt{Var(X)Var(Y)}=0.4\times\sqrt{25\times36}=12 ∴Cov(X,Y)=ρXY×Var(X)Var(Y)=0.4×25×36=12
∴ V a r ( X + Y ) = V a r ( X ) + V a r ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) = 73 \therefore Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)=73 ∴Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)=73
V a r ( 2 X − Y ) = V a r ( 2 X ) + V a r ( Y ) − 2 C o v ( 2 X , Y ) Var(2X-Y)=Var(2X)+Var(Y)-2Cov(2X,Y) Var(2X−Y)=Var(2X)+Var(Y)−2Cov(2X,Y)
= 4 V a r ( X ) + V a r ( Y ) − 4 C o v ( X , Y ) = 100 + 36 − 48 = 88 =4Var(X)+Var(Y)-4Cov(X,Y)=100+36-48=88 =4Var(X)+Var(Y)−4Cov(X,Y)=100+36−48=88
附 ： 附： 附：
协 方 差 性 质 ： 协方差性质： 协方差性质： - C o v ( X , Y ) = C o v ( Y , X ) Cov(X,Y)=Cov(Y,X) Cov(X,Y)=Cov(Y,X)
- C o v ( a X , b Y ) = a b C o v ( X , Y ) ( a , b 为 常 数 ) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)\quad (a,b为常数) Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)(a,b为常数)
- C o v ( X 1 + X 2 , Y ) = C o v ( X 1 , Y ) + C o v ( X 2 , Y ) Cov(X_1+X_2,Y)=Cov(X_1,Y)+Cov(X_2,Y) Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)
- D ( X + Y ) = D ( X ) + D ( Y ) + 2 C o v ( X , Y ) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y) D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)
D ( X − Y ) = D ( X ) + D ( Y ) − 2 C o v ( X , Y ) D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y) D(X−Y)=D(X)+D(Y)−2Cov(X,Y)