宽带接收机中的非均匀采样技术研究之自然信号的稀疏表示（2018/8/18）（第二篇）

宽带接收机中的非均匀采样技术研究

上面为论文的地址，关于压缩感知，我曾经做过一下了解，并根据初学者的角度总结了压感，但可惜我认为好的文章没人看，写的不好的文章，不想让人关注的文章却点击量较多，真是尴尬，贴出地址：一次综合的、深入浅出的压感的回顾与总结

既然以前研究过压缩感知，为什么今天要旧事重提呢？一方面，多看无害呀，另一方面就是这么论文中有介绍压感，时隔不久，我还想朝花夕拾。这也不是全部的目的，主要还是论文的完整性，我需要提提。

这篇博文是对上篇博文的继续，这里贴出上篇博文的地址：宽带接收机中的非均匀采样技术研究（2018/8/18）（第一篇）

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这里需要重申一下，压缩感知研究的对象是有限长（假设N维）的离散信号，而且这个信号还是得能够进行稀疏表示的，如果这个信号本身就是稀疏信号，那就更好了，省了很多事情，稀疏矩阵就是一个N维的单位阵。

信号的稀疏表示是关键，也是进行压缩采样（压缩感知）的第一步。

只有待处理信号在某个变换基内是稀疏的，才可以使用 CS 理论对其进行分析。因而，如何合理选择稀疏基在整个过程中显得特别重要。在使用 CS 理论时，对于大多数的信号，可以利用正交基 Ψ 对信号进行稀疏化，这时信号可以表示为：

这里的就是就是稀疏表示后的稀疏向量。

其中， X 是 N*1 维的离散信号，可以表示为列向量形式,， 表示对矩阵转置， Ψ 是 N*N维的正交矩阵，可以表示为：， a 表示系数向量，是一个 N*1 的向量。则 X 可以用 Ψ 进行
表示：

 X 和 a 是在不同域下，对同一信号的表示。

解释：

例如一个信号X在时域不是稀疏的，但是对其做DFT（或FFT）后，得到的信号 a 就是一个稀疏的了，这样的例子多不胜数。

这里信号的稀疏表示就是利用了不同域中信号的不同特点来进行的，二者是对同一个信号在不同域下的不同表示。

对信号的稀疏表示，不同的信号稀疏表示的方法不一样，有的信号在时域就是稀疏的，有的信号在频域是稀疏的，有的信号在其他域才是稀疏的，所以信号稀疏表示的关键在于找到那个稀疏矩阵，使得信号能够映射为一个稀疏的向量，这就完成了压感的第一步。

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下面给出K稀疏的定义：

系数向量 a 的支撑集表示如下：

其中表示的第i个元素。

，意思就是中不为零的元素的个数。

其中，表示的范数。如果满足,则可以认为信号 X 在 Ψ 域内是 K-稀疏的。

可是在大部分实际情况中，能够严格符合稀疏条件的信号 X 并不多。此时，我们将稀疏向量 a 按系数大小进行排序，如果其系数的衰减趋势可近似为指数形式，则选择最大的前 K 项来对原始信号做近似表示。这时可以将信号 X 看作是稀疏的。

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近些年来，冗余字典逐渐成为信号稀疏分解方面的一个热门研究方向，当使用正交基不能将原始信号稀疏化时，选择合适的冗余字典同样可以实现对原始信号进行稀疏分解。冗余字典是一种完备的冗余函数库，数学表示为：

其中， N< 根据以上论述可知，选择最合适的稀疏基在压缩感知理论的应用中具有重要的意义。因为只有当信号能够稀疏表示时，才可以对信号完成稀疏重构。此外，对变换基稀疏能力的估计，可以根据变换系数的衰减趋势来衡量。Candès 和 Tao的研究表明，如果一个信号幅值衰减呈幂次(power-law)规律时，可根据压缩感知理论对其进行分析。

对于不能严格满足稀疏条件的信号，如果其在稀疏域上的系数衰减很快。此时，可以用 K 项稀疏的信号来近似描述这种特性，即在信号的重新构造时，只利用最大的 K 个系数来对原始信号进行近似表示。除此之外，即便是标准的稀疏信号，在对信号进行观测时，噪声带来的干扰也是不可避免的。假设观测时，系统噪声只考虑加性高斯白噪声，则最终得到的观测信号可作如下表示：

其中， n 为随机高斯白噪声，在一般情况下，含有噪声的信号在稀疏变换基下的系数也可以近似地认为是呈幂次衰减的；因此，同样可以根据压缩感知理论对信号进行重构。在稀疏基的选择上，常用的选择有：冗余字典、chirplet 基、Gabor 变换以及离散小波变换基等。