0/1背包问题（蛮力法）

问题描述：

给定n个重量为{w1,w2,w3,....,wn}、价值为{v1,v2,v3,...,vn}的物品和一个容量为C的背包，0/1背包问题是求解这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够装到背包中。

蛮力法：

算法描述：

使用蛮力法解决0/1背包问题，就是将所有的物品装入背包的可能全部列举出来（背包问题的蛮力解法是穷举这些物品的所有子集，找出能够装到背包中的所有子集，并在这些子集中找出价值最大的子集）。这个可以通过递归的方式实现。递归的过程可以看成是对一棵树的深度优先遍历：

例如上图，假设从背包中的1号物品开始列举所有的可能。如果每一层仅仅简单的在循环中使用递归，则该程序就不会结束。需要使用一个一维向量用于标记当前哪些编号已经装入了。例如，当前1号物品已经装入背包，首先标记1号物品已经装入。之后，在循环中首先选择2号物品，如果没有超出背包的最大承重的话，标记2号物品已经装入。当前还有3、4号物品没有装入，所以继续递归尝试装入3、4号物品。在装入2号物品之后的所有可能的递归全部完成后，修改当前标记，并将2号物品从背包中拿出，之后就可以递归遍历放入3号物品之后的可能的情况了。
代码如下：

#include 

#include 
#define PAC_MAX_VOL	10	//背包最大承重10
using namespace std;

void dfs(const vector weights, const vector vals, bool visit[], 
int currWeight, vector seq);

void outputResult(vector weights, vector vals, bool visit[], 
int currWeight, vector seq);

/**

*	使用递归的方式遍历所有的可能

*/

void dfs(const vector weights, const vector vals, bool visit[], int currWeight, vector seq) 
{

	for (int i = 0; i < 4; ++i)
 {

		if (!visit[i]) {

			if (currWeight + weights[i] > PAC_MAX_VOL)

				continue;

			visit[i] = true;

			seq.push_back(i);
                       //将当前步加入到序列中

			dfs(weights, vals, visit, (currWeight + weights[i]), seq);	

	               //基于当前状态深度遍历
			seq.erase(find(seq.begin(), seq.end(), i));		
                        //从序列中删除

			visit[i] = false;
		}
	}
	outputResult(weights, vals, visit, currWeight, seq);

	return;
}
/**

*	输出当前结果

*/

void outputResult(vector weights, vector vals, bool visit[], int currWeight,vector seq) {

	cout << "当前背包的重量是：" << currWeight << ", ";

	int sumVal = 0;

	for (int i = 0; i < 4; ++i)

		if (visit[i])

			sumVal += vals[i];

	cout << "当前背包的总价值为：" << sumVal << endl;

	cout << "当前结果集(编号)是：";

	for (auto ele : seq) {

		cout << ele << "  ";
	}
	cout << "\n-----------------------------" << endl;	
}
int main()
{

	const vector weights = { 7,3,4,5 };		//各个物品的重量

	const vector vals = { 42,12,40,25 };		//各个物品的价值

	vector seq;

	bool visit[4] = {false};			
        //用于在递归中表示当前已有哪些物品放在背包中了

	dfs(weights, vals, visit, 0, seq);

    return 0;

}

 

算法分析：