黑马程序员____比较不同方法求Fibonacci数

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一、实验环境

操作系统：Windows 7 Ultimate 64bit SP1
处理器：Intel Core  i7-2630QM CPU @ 2.00GHz
内存：8GB (DDR3 1333MHz)
编程语言Visual C# 4.0
编译环境Visual Studio 2010 + Release + Optimize Code

二、 实验方法

由Fibonacci数列的定义，我们有如下的递推式：Fn=Fn-1 + Fn-1

通过定义来计算数列的Fn需要的时间复杂度为O(n)，空间复杂度O(1)。

而Fibonacci数列还能通过如下的矩阵方法计算：

即要计算数列的Fn+1只需要计算A^n，而A^n能够通过分治法在时间复杂度O(lgn)的情况下计算出来。

实验中需要注意的地方是，如果使用无符号长整数数据类型来计算Fn,那么从第48项开始数据就会溢出，

即使使用无符号长整数数据类型，从第94项开始数据也会溢出。因此如果只是使用基本数据类型，

那么后面的项将无法正确计算。所以实验还需要实现一个能够处理大整数的数据类型，在实验中我们

使用了一个无符号长整数动态数组来实现一个基数为10^8的大整数类，数组下标为0的元素则对应了

“个”位，以此类推。这个大整数类实现了加法和乘法，时间复杂度分别为O(n),O(n^2),而乘法还能改进

的地方，比如使用分治法能够将时间复杂度改进到O(n^ log2^3)，而使快速傅里叶变换则恩给你改进到

O(nlgn)

三、实验结果

                                                                                        图1  实验数据

       虽然前面提及过用递推法和矩阵法求Fibonacci数列Fn的时间复杂度分别为O(n),O(lgn),但是从图表

中能够看出两种方法运行时间的曲线并不是像分析的那样。这是因为分析的时候是假设数的加法或是

乘法都是能够在O(1)时间复杂度内完成的，然后实际的情况是我们必须使用大整数类才能保证计算的正确，

而使用大整数类进行运算的时候，加法和乘法都将不能够在O(1)时间复杂度内完成的，在本实验中实现的

大整数类加法和乘法的时间复杂度分别为O(n),O(n^2)，与数的长度有关。因此两种方法运行时间的曲线

也就不能像原先分析的那样，而是呈现图表中这样的曲线。

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