三种典型的博弈论问题之巴什博奕(Bash Game)

什么是博弈论

官方回答：
博弈论，又称为对策论（Game Theory）、赛局理论等，既是现代数学的一个新分支，也是运筹学的一个重要学科。
博弈论主要研究公式化了的激励结构间的相互作用，是研究具有斗争或竞争性质现象的数学理论和方法。 博弈论考虑游戏中的个体的预测行为和实际行为，并研究它们的优化策略。生物学家使用博弈理论来理解和预测进化论的某些结果。
博弈论已经成为经济学的标准分析工具之一。在金融学、证券学、生物学、经济学、国际关系、计算机科学、政治学、军事战略和其他很多学科都有广泛的应用。
个人理解：
博弈论是将某些看似不可预测的一些游戏变得可预测。（我们大可不必在意这么多）今天我们要说的是编程中的博弈论。相对于来说没那么复杂。

巴什博奕

那么什么是巴什博弈呢？？其实就是类似于这样的问题：
只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
可能有那么一丝抽象。那我们随便举一下例子好了（聪明的可以直接跳过下面分析）：
现在有30个石头， A 和 B 轮流从这堆石头里面往外取，每次最少取 1 个，最多取 4 个，最后取光的那个人就是胜利者。假设让 A 先取，问 A 是否能赢得这次比赛。
碰到这道题猛一看貌似没什么规律，而且不知道怎么下手。

别慌，我们慢慢看。
（1）假如说石头数量少于 4 的话，因为 A 先拿，所以 A 可以一次性拿完，A 可以赢。
（2）假如说石头数量为 5 个的话，A 不论先手拿了几个，B 都可以一次性把剩下的拿完，A 必输。
（3） 假如说石头数量为 6 个的话， A 可以先拿 1 个，然后石头数量变成了 5 个，此时问题就变成了（2）中面临的问题。B 无论拿几个，A 都可以一次性把剩下的拿完。A必胜。
（4）那么后面的假设石头分别是 7 、8、9 个是不是都可以让 A 分别先手拿 2、3、4 个，然后让 B 面临（2）的问题。易知 A 必胜。
（5）加入石头是10个的话，A 无论先手拿了几个，都会让 B 面临（3）（4）的情况。也就是说，此时 B 必胜。A必输。
通过上面的推理，我们可以大胆分析当石头数量是 5（最多可拿石头数量+1）的倍数的时候 A 必输，其他情况 A 必胜。
这样的话我们可以判断 30 个石头的时候 A 是必输的。那么实际情况是不是这样的？看下面实际分析

聪明的同学可以从下面继续看：
我们再回到之前的问题：
只有一堆n个物品，两个人轮流从这堆物品中取物，规定每次至少取一个，最多取m个。最后取光者得胜。
按照我们上面分析的只要 n 是（m+1）的倍数，那么 先手者就必输。
验证如下：
如果物品数量 n 可以化成 k（m+1）+ x 的形式（即 n 不可被（m+1）整除）其中 k 为自然数，0 < x < m+1 ， 那么只要先手者第一次拿走 x 个物品，剩余物品变为 k(m+1)，接下来无论后手者怎么拿，先手者都可以让物品数量变 k(m+1) , k逐渐变小直到最后变为 1 ，此时剩余物品为 m+1 ，接下来无论后手者拿多少都拿不完 ，并且会使剩余物品数量小于 m+1 ，而先手者则可以直接把剩下的拿完。所以先手者必胜。
如果物品数量为 k（m+1）（即 n 可被（m+1）整除）此时先手者就会面临上面的 后手者的问题，所以先手者必输。
（个人语言表达能力有限,有些地方表述不清还请见谅）

例题讲解

对于四川同胞遭受的灾难，全国人民纷纷伸出援助之手，几乎每个省市都派出了大量的救援人员，这其中包括抢险救灾的武警部队，治疗和防疫的医护人员，以及进行心理疏导的心理学专家。根据要求，我校也有一个奔赴灾区救灾的名额，由于广大师生报名踊跃，学校不得不进行选拔来决定最后的人选。经过多轮的考核，形势逐渐明朗，最后的名额将在“林队”和“徐队”之间产生。但是很巧合，2个人的简历几乎一模一样，这让主持选拔的8600很是为难。无奈，他决定通过捐款来决定两人谁能入选。
选拔规则如下：
1、最初的捐款箱是空的；
2、两人轮流捐款，每次捐款额必须为正整数，并且每人每次捐款最多不超过m元(1<=m<=10)。
3、最先使得总捐款额达到或者超过n元（0 我们知道，两人都很想入选志愿者名单，并且都是非常聪明的人，假设林队先捐，请你判断谁能入选最后的名单？
Input
输入数据首先包含一个正整数C，表示包含C组测试用例，然后是C行数据，每行包含两个正整数n，m，n和m的含义参见上面提到的规则。
Output
对于每组测试数据，如果林队能入选，请输出字符串"Grass"， 如果徐队能入选，请输出字符串"Rabbit"，每个实例的输出占一行。
Sample Input
2
8 10
11 10
Sample Output
Grass
Rabbit
直接附加AC代码：

#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

int main()
{
    int n,m,t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n<=m)
            printf("Grass\n");
        else
        {
            if(n%(m+1)==0)
                printf("Rabbit\n");
            else
                printf("Grass\n");
        }
    }
    return 0;
}

其他例题

下面几道例题需要自己动脑子，注意上面的找规律方法，尝试一下，别着急看答案。

例题1链接：hdu-1847 Good Luck in CET-4 Everybody!
题面如下
Problem Description
大学英语四级考试就要来临了，你是不是在紧张的复习？也许紧张得连短学期的ACM都没工夫练习了，反正我知道的Kiki和Cici都是如此。当然，作为在考场浸润了十几载的当代大学生，Kiki和Cici更懂得考前的放松，所谓“张弛有道”就是这个意思。这不，Kiki和Cici在每天晚上休息之前都要玩一会儿扑克牌以放松神经。
“升级”？“双扣”？“红五”？还是“斗地主”？
当然都不是！那多俗啊~
作为计算机学院的学生，Kiki和Cici打牌的时候可没忘记专业，她们打牌的规则是这样的：
1、 总共n张牌;
2、 双方轮流抓牌；
3、 每人每次抓牌的个数只能是2的幂次（即：1，2，4，8，16…）
4、 抓完牌，胜负结果也出来了：最后抓完牌的人为胜者；
假设Kiki和Cici都是足够聪明（其实不用假设，哪有不聪明的学生~），并且每次都是Kiki先抓牌，请问谁能赢呢？
当然，打牌无论谁赢都问题不大，重要的是马上到来的CET-4能有好的状态。

Good luck in CET-4 everybody!

Input
输入数据包含多个测试用例，每个测试用例占一行，包含一个整数n（1<=n<=1000）。

Output
如果Kiki能赢的话，请输出“Kiki”，否则请输出“Cici”，每个实例的输出占一行。

Sample Input
1
3

Sample Output
Kiki
Cici

AC代码：

#include 
#include 
#include
#include
int main()
{
   int n;
   while(~scanf("%d",&n))
   {
       if(n%3==0)
        printf("Cici\n");
       else
        printf("Kiki\n");
   }
    return 0;
}

例题2链接：hdu-2147 kiki’s game
翻译如下：
问题描述

最近琪琪无所事事。当她无聊的时候，一个想法出现在他的脑海里，她只是玩棋盘游戏。chesserboard的大小是n*m。首先，在右上角放一枚硬币(1,m)。每次一个人把硬币移到左边，下面或左边下面的空白区域。走不动一步的人将会输掉这场比赛。kiki和zzki一起玩，游戏总是从kiki开始的。如果双方都打得很好，谁将赢得这场比赛?

输入

输入包含多个测试用例。每行包含两个整数n,m (0当n=0和m=0时，输入终止。

输出

如果kiki赢了这个游戏，你会说“ Wonderful! ”，否则“What a pity!”。

样例输入
5 3
5 4
6 6
0 0

样例输出
What a pity!
Wonderful!
Wonderful!

AC代码：

#include 
#include 
#include
#include
int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    {
        if(n==0&&m==0)
            break;
        if(n%2==0||m%2==0)
            printf("Wonderful!\n");
        else
            printf("What a pity!\n");
    }
    return 0;
}

例题3链接：hdu-2149 Public Sale
题面如下：
Problem Description
虽然不想，但是现实总归是现实，Lele始终没有逃过退学的命运，因为他没有拿到奖学金。现在等待他的，就是像FarmJohn一样的农田生涯。

要种田得有田才行，Lele听说街上正在举行一场别开生面的拍卖会，拍卖的物品正好就是一块20亩的田地。于是，Lele带上他的全部积蓄，冲往拍卖会。

后来发现，整个拍卖会只有Lele和他的死对头Yueyue。

通过打听，Lele知道这场拍卖的规则是这样的：刚开始底价为0，两个人轮流开始加价，不过每次加价的幅度要在1～N之间，当价格大于或等于田地的成本价 M 时，主办方就把这块田地卖给这次叫价的人。

Lele和Yueyue虽然考试不行，但是对拍卖却十分精通，而且他们两个人都十分想得到这块田地。所以他们每次都是选对自己最有利的方式进行加价。

由于Lele字典序比Yueyue靠前，所以每次都是由Lele先开始加价，请问，第一次加价的时候，
Lele要出多少才能保证自己买得到这块地呢？

Input
本题目包含多组测试，请处理到文件结束(EOF)。每组测试占一行。
每组测试包含两个整数M和N(含义见题目描述，0

Output
对于每组数据，在一行里按递增的顺序输出Lele第一次可以加的价。两个数据之间用空格隔开。
如果Lele在第一次无论如何出价都无法买到这块土地，就输出"none"。

Sample Input
4 2
3 2
3 5

Sample Output
1
none
3 4 5

AC代码：

#include 
#include 
#include
#include
int main()
{
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&m,&n))
    {
        if(m>n)
        {
            if(m%(n+1)==0)
                printf("none\n");
            else
            {
                int x=m%(n+1);
                printf("%d",x);
                printf("\n");
            }
        }
        else
        {
            for(int i=m; i<n; i++)
                printf("%d ",i);
            printf("%d",n);
            printf("\n");
        }
    }
    return 0;
}

最后总结

其实这个博弈并不仅仅是什么只能取1—m个类的问题。这类的问题大多都是找规律，只要耐心，思路也清晰，那么也是能做的，除了有一些费头发。