【题解】LuoGu5658：括号树

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树上括号序列匹配问题
考场上写了个$O(n^2)$暴力加上优化过掉了
思路如下：

• 树形dp想法，令$cn{t}_u$表示从1到$u$的字符串中以$u$结尾的合法子串有多少个
• 那么可以想到，如果当前是个$($，那么不存在以这个结尾的合法子串
• 将$($看成1，$)$看成-1，比如$()())$的权值就是-1
• 转移：令$s_i$表示从1到$i$的权值，那么若存在$s_u=s_v$，那么对于$u$，祖先中深度最大的满足上式的$v$就是要找的，之后$cn{t}_u=cn{t}_v+1$
• dfs遍历的同时记录不以$u$结尾的合法子串总数$sum$，当前总和就是$sum+cn{t}_u$
• 对于每个$u$，$O(n)$找到对应的$v$

确实是过掉了了，但是严格意义上此题我并没有做出来，所以正解如下：

• 关于快速找到那个$v$，我们进行优化，可以开个桶，$ls{t}_i$表示$s=i$的点中最晚出现的那个
• 这样总体时间就是$O(n)$了

Code：

#include 
#define maxn 500010
#define LL long long
using namespace std;
struct Edge{
	int to, next;
}edge[maxn << 1];
LL ans, cnt[maxn];
int lst[maxn << 1], fa[maxn], num, head[maxn], n, val[maxn];

inline int read(){
	int s = 0, w = 1;
	char c = getchar();
	for (; !isdigit(c); c = getchar()) if (c == '-') w = -1;
	for (; isdigit(c); c = getchar()) s = (s << 1) + (s << 3) + (c ^ 48);
	return s * w;
}

inline int get(){
	char c = getchar();
	for (; c != '(' && c != ')'; c = getchar());
	return c == '(';
}

void addedge(int x, int y){ edge[++num] = (Edge){y, head[x]}, head[x] = num; }

void dfs(int u, LL sum, int s){
	if (val[u]) ++s; else --s;
	if (!val[u] && (lst[s + n] || s == 0)) cnt[u] = cnt[lst[s + n]] + 1;
	int tmp = lst[s + n];
	lst[s + n] = u;
	ans ^= (1LL * u * (sum += cnt[u])); //printf("%d %d\n", u, sum);
	for (int i = head[u]; i; i = edge[i].next) dfs(edge[i].to, sum, s);
	lst[s + n] = tmp;
}

int main(){
	n = read();
	for (int i = 1; i <= n; ++i) val[i] = get();
	for (int i = 2; i <= n; ++i) addedge(fa[i] = read(), i);
	dfs(1, 0, 0);
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}