n维向量积（3维向量积的推广,向量算法）

在三维空间中，两个向量的乘积（向量积，外积，乘积，区别于两个向量的数乘：内积，点积）表示两个向量的扭矩，而三个向量的混合积A×B·C，则表示由三个向量A,B,C所构成的平行六面体的面积。而且在混合积中A,B,C的位置是可以互换的（这个很容易证明），这也符合我们的经验。那么问题来了？
1）3个或者N>3个三维向量相乘如何定义？A×B×C×D....因为A×B是有定义的，A×B是向量，那么只要继续乘就可以了，这也说明3维向量相乘，向量个数不是问题；
2）向量个数不是问题，那4维向量的两个向量相乘呢？

设A=(a1,a2,a3,a4),B=(b1,b2,b3,b4) A*B=(x1,x2,x3,x4)则满足如下方程组：
 ① A·(A*B)=0
 ② B·(A*B)=0
 ③ |A*B|=|A|*|B|sinθ。
这是一个4元二次方程组，但只有3个方程组，显然解不是一个。这说明A*B在4维空间，如果按垂直来定义，无法唯一确定，其结果是一个面(受限的)。
类似的，扩展到n维空间，方程组还是只有3个。结果是n-2维体（面）（受限于方程）。

下面推广n维向量的
n-1个向量积：A1*A2*...A(n-1)·；
混合积:A1*A2*...A(n-1)·An.

/// 

        /// 向量积
        /// 
        /// 
        /// 
        /// 
        public static TVector Mul(TVector A, TVector B)
        {
            if (A.Count == B.Count && B.Count == 3)
            {
                var theI = A[1] * B[2] - A[2] * B[1];
                var theJ = -(A[0] * B[2] - A[2] * B[0]);
                var theK = A[0] * B[1] - A[1] * B[0];
                TVector theV = new TVector(theI, theJ, theK);
                return theV;
            }
            else
            {
                throw new Exception("现仅支持3分量.");
            }
        }
        /// 

        /// n维向量的n-1个向量的乘积，n>3
        /// 
        /// 向量组
        /// 
        public static TVector Mul2(params TVector[] Vectors)
        {
            if (Vectors==null || Vectors.Length < 2)
            {
                throw new Exception("参数错误必须是n维向量n-1个向量模式");
            }
            var theN = Vectors[0].Count;
            if (theN != Vectors.Length + 1)
            {
                throw new Exception("参数错误必须是n维向量n-1个向量模式");
            }
            var theA = new double[theN, theN];
            for (int i = 0; i < theN; i++)
            {
                theA[0, i] = 1; 
            }
            for (int i = 0; i < theN; i++)
            {
                for (int j = 0; j < Vectors.Length; j++)
                {
                    theA[j + 1, i] = Vectors[j][i];
                }
            }
            //按第一行展开求代数余子式，并计算行列式.(1,j)的代数余子式就是所求向量第j个分量的值.
            var theRetA = new double[theN];
            for (int j = 0; j < theN; j++)
            {
                var theA1 = LinearAlgebra.GetDeterminantMij(theA, 1, j + 1);
                var theSign = LinearAlgebra.CalcDeterMijSign(1, j + 1);
                theRetA[j] = theSign * LinearAlgebra.CalcDeterminant(theA1);
            }
            return new TVector(theRetA);
        }
        /// 

        /// n维向量的n个向量的混合积A1×A2.....An-1·An
        /// 
        /// 向量组
        /// 
        public static double Mul3(params TVector[] Vectors)
        {
            if (Vectors == null || Vectors.Length < 2)
            {
                throw new Exception("参数错误必须是n维向量n-1个向量模式");
            }
            var theN = Vectors[0].Count;
            if (theN != Vectors.Length)
            {
                throw new Exception("参数错误必须是n维向量n个向量模式");
            }
            var theA = new double[theN, theN];
          
            for (int i = 0; i < theN; i++)
            {
                for (int j = 0; j < Vectors.Length; j++)
                {
                    theA[j, i] = Vectors[j][i];
                }
            }
            return LinearAlgebra.CalcDeterminant(theA);
        }
        /// 

        /// 向量混合积A×B·C
        /// 
        /// 
        /// 
        /// 
        public static double Mul(TVector A, TVector B, TVector C)
        {
            if (A.Count == B.Count && B.Count == 3)
            {
                double[,] theA = new double[3, 3];
                for (int i = 0; i < 2; i++)
                {
                    theA[0, i] = A[i];
                    theA[1, i] = B[i];
                    theA[2, i] = C[i];
                }
                return LinearAlgebra.CalcDeterminantAij(theA);
            }
            else
            {
                throw new Exception("现仅支持3分量.");
            }
        }

暂时研究到此，后面有时间继续研究。

注意：算法中用到的函数参见Mymathlib系列.

后记：N维空间中（N>3)的两个向量相乘，如果按照三维空间中的向量积的定义方式，往往得不到唯一的积向量，对于大于三维的空间，不好获得直观的看法。我们不换假设在平面上有一条线A,另一条线B与之垂直，如果B的模确定，则B是确定的，但如果是三维空间，则满足与A垂直且模一定的线段，就不止一条了，而是一个圆。那么在4维空间中，对于A*B,满足向量积定义的向量也不是唯一的。