动态规划 剪绳子 （JS 实现）

题目

现有一根长度为N的绳子，需要你剪成M段，使M段的乘积最大。（其中M、N都为整数，剪成的每段长度也为整数，N已知，M未知）。例如长度为8的绳子，当剪为3段乘积最大，即2*3*3=18.

思路

看到这种求最优解的题型，你就应该思考一下动态规划是否适合。这个绳子我可以一次一次的剪，第一次剪成两段，这就变成两根新绳子，只要我分别知道这两根新绳子最大的乘积，那么我就知道了整条绳子的最大乘积了，这就将一个问题，划分为两个子问题了，且各子问题之间相互独立，满足最优子结构，因此可以使用动态规划

首先确定边界条件和状态转移方程：

• 当绳子长度为1时，最大乘积为0
• 当绳子长度为2时，可以剪成1*1，最大乘积为1
• 当绳子长度为3时，可以剪成（1*2，1*1*1），最大乘积为2
• 当绳子长度为4时，可以剪成（1*1*1*1, 1*2*1, 2*2, 1*3），最大乘积为4
• 当绳子长度为5时，可以剪成（1*1*1*1*1， 1*2*2， 3*2, 1*2*1*1, 1*3*1，1*4），最大乘积为6

我们可以看到，当绳子长度n大于等于4时，f(n) = max( f(i) * f(n-i) )，其中1 < i <= [n/2]，因此我们可以用遍历来实现状态转移方程

代码

function LineMax(n){
    if (n<=1) return 0;
    if (n==2) return 1;
    if (n==3) return 2;
    const a =[0,1,2,3];      //排出前面的边界条件，第i项表示长度为i的绳子的最大乘积
    const b =[[0],[1],[2],[3]];     //第i项表示，长度为i绳子的最大乘积组合
    for (var i=4;i<=n;i++){
        a[i] = 0;    //初始化
        for (var j=1;j<= n/2;j++){  //循环找出最大乘积及组合并分别记录在a，b数组中
            if (a[j]*a[i-j] >a[i]){  
                a[i] = a[j]*a[i-j];
                b[i] = [...b[j], ...b[i-j]];
            }
        }
    }
    console.log(a[n]);  //输出长度为n的绳子最大乘积
    console.log(b[n]);   //输出长度为n的绳子最大乘积时的划分组合
}