【梳理】离散数学 第2版 第9章 代数系统 9.1 二元运算及其性质

教材：离散数学 第二版 屈婉玲、耿素云、张立昂

9.1 二元运算及其性质

（原文档高清截图在最后，已排版）

1、设集合S，函数 f: S×S→S 称为S上的二元运算，简称二元运算。

2、2、一个运算为S上的二元运算，需要符合如下两点：
（1）集合S中的任意两个元素都能运算，且结果唯一；
（2）（1）中的任何运算结果都属于S，即S对该运算封闭。
例：
（1）自然数集N上的加法和乘法都是N上的二元运算，而减法和除法不是。因为减法的结果可能出现零、负数，而除法的结果可能是小数。
（2）整数集Z上的加减和乘法都是Z上的二元运算，而除法不是，原因同（1）。
（3）非零实数集R上的乘除都是R上的二元运算，而加减不是。因为非零实数加减可以产生零。
（4）对n（n≥2）阶实矩阵Mn( R )：矩阵加减和矩阵乘法都是Mn( R )上的二元运算。
（5）对集合S，初级并、初级交、相对补、对称差都是幂集P(S)上的二元运算。记SS（第二个S上标）为S上所有函数的集合，对建立在S上的任意两个函数作的复合运算都是SS上的二元运算。
（集合S的广义并 集合S的元素的元素构成的集合称作集合S的广义并）
（集合S的广义交 集合S的所有元素的公共元素构成的集合称作集合S的广义交）

3、设集合S，f:S→S 称为S上的一元运算，简称一元运算。
例：
（1）对整数集Z、有理数集Q、实数集R，求相反数是一元运算。
（2）对非零有理数集Q*、非零实数集R*，求倒数是一元运算。
（3）对复数集C，求共轭复数是一元运算。
（4）对幂集P(U)，U为全集，则绝对补是一元运算。
（5）设A为S上全部双射函数的集合，则求一个双射函数的反函数为一元运算。
（设非空集合X、Y，如果Y中任一元素均对应有X，称f为由X到Y的满射。若x1≠x2则f(x1)≠f(x2)，则称f为从X到Y的单射。f既是单射又是满射，称为一一映射或双射。）

4、
例：
（1）实数集R上，加法和乘法都可以交换，而减法和除法不能。幂集上的初级并、初级交、对称差都是可交换的，但是相对补不可以。
（2）对n（n≥2）阶实矩阵Mn( R )：矩阵加法可交换，而减法、乘法不可以。
（3）任意两个函数的复合运算一般都不能交换。

5、
例：
（1）对自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C，加法和乘法都满足结合律，矩阵加法和矩阵乘法也满足结合律。集合的初级并、初级交、对称差也是可以结合的，函数的复合也是可结合的。

6、对满足结合律的二元运算，如果某表达式仅含该运算符，就可以任意增删括号改变运算顺序。

7、幂等律

8、幂等元

例：
（1）对任意集合S，因为，所以集合的初级并、初级交符合幂等律。但对称差、相对补一般不适合幂等律，但空集是幂等元。
（2）一般加法和一般乘法不适合幂等律，但0是加法的幂等元，0、1是乘法的幂等元。

9、
注意，是括号外运算对括号内运算符合分配律。
实数集R上乘法对加法可分配，n阶实矩阵（当n=1时，实矩阵相当于普通的实数）的矩阵乘法对矩阵加法也是可分配的。幂集P(S)上，初级并、初级交是互相可分配的。
当括号中含有多于2项时，分配就变成广义分配。一旦某运算对分配律成立，那么该运算也对广义分配律成立。

10、吸收律

11、单位元

例：
（1）自然数集N上，0、1分别是加法和乘法的单位元。n阶矩阵中，零矩阵是矩阵加的单位元，而n阶单位矩阵是矩阵乘的单位元。
（2）幂集P(S)上，∅和S分别是是并和交的单位元。
（3）SS上，恒等函数I是关于复合运算的单位元。

12、单位元唯一性定理 对二元运算，如果存在左、右单位元，那么左右单位元相等，且该运算仅有唯一单位元。由单位元的定义证明相等，然后设不同的单位元e’，结合单位元的定义求得e’ = e，证毕。

13、零元
例：
自然数集N上，0是乘法的零元，加法没有零元。n阶矩阵中，n阶零矩阵是矩阵乘法的零元，而矩阵加法没有零元。幂集P(S)上并、交的零元分别是S、∅，而对称差没有零元。

14、零元唯一性定理 对二元运算，如果存在左、右零元，那么左右零元相等，且该运算仅有唯一零元。证法类似12。

15、

16、可逆

例：
（1）自然数集N上只有0有对加法的逆元0。如果对整数集Z，任何元素的加法逆元都是其相反数。对n阶矩阵M，加法逆元是。只有实可逆矩阵存在乘法逆元。
n阶矩阵可逆的充要条件是矩阵满秩，或者行列式不为零（非奇异）。
（2）幂集P(S)中，对∪运算，只有∅有逆元，就是它本身。对∩运算，只有S为逆元，就是S本身。两种情况中，其它元素都没有逆元。

17、逆元唯一性定理 对可结合的二元运算，如果存在左逆元和右逆元，那么左右逆元相等，且该运算只有唯一逆元。结合逆元的定义通过一些等价变换可以完成证明。

18、消去律

例：
实数集R的加法、减法和乘法都满足消去律。幂集的并、交一般不满足消去律，但对称差满足消去律。矩阵的乘法一般也不满足消去律而矩阵加法、减法可以。