考研数学一基础技巧题汇总
本篇博客里博主总结了历年真题、模拟题中容易忽视的基础与技巧：
- 轻装上阵很重要！希望大家熟练掌握以下每个知识点。
- 本篇博客侧重于基础部分，同时还有一些不常考，但考题很简单的知识点.
- 但是考研数学题的思路往往是难点，甚至有一些非常不容易想到的点，比如： 看不懂的积分必用分部积分法，看不懂的级数必用等价无穷小，看不懂的概率题就必定换成F(x) 等等…我把这些写成了博客，称为"考研数学高阶技巧题汇总"，敬请期待。
文章目录
- 高数（43）
- 线代（13）
- 概率（18）
复习建议：看着目录，默写答案，全部写完后查看答案并更正，后期保持记忆至少每周2次，直至考试前夕。答案部分博主还在写…内容有点多，敬请期待， ≥ ε ≤ \ge \varepsilon \le ≥ε≤（像不像切比雪夫不等式，hhh）
高数（43）
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泰勒展开式
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旋转曲线公式
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麦克劳林展开式
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f(x) 为周期函数
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周期为 2l 的函数傅氏展开
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二型曲线积分的积分与路径无关
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可微表达式
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z=f(x,y) 中 dz|(x,y) 的表达式
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u=f(x,y,z) 在 P0 (x0 , y0 , z0) 处沿 → A B \xrightarrow[AB]{} AB 的方向导数
- 其中 AB = {cos α \alpha α, cos β \beta β, cos γ \gamma γ}
- 或其中 AB = {a, b, c}
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z=f(x,y) 在 P0 (x0 , y0) 处的梯度
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→ A \xrightarrow[A]{} A = {P, Q, R}，则 → A \xrightarrow[A]{} A 在 P0 (x0 , y0 , z0) 处的散度值
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→ A \xrightarrow[A]{} A = {P, Q, R}，则 → A \xrightarrow[A]{} A 在 P0 (x0 , y0 , z0) 处的旋度值
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曲线
{ F ( x , y , z ) = 0 G ( x , y , z ) = 0 \left\{ \begin{array}{l}F\left( x,y,z \right) =0\\G\left( x,y,z \right) =0\\\end{array} \right. {F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0
绕某一坐标轴旋转的旋转方程 -
p级数
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交错级数判敛
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中值定理中构造辅助函数 F(x) 的思路
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n → \rightarrow → ∞ \infty ∞ 的重要极限表达式
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等价无穷小阶数判断
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极限 lim n → ∞ \lim_{n\rightarrow \infty} limn→∞ a n , b n , c n . . . n \sqrt[n]{a^n,b^n,c^n...} nan,bn,cn... 的值
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对于任何函数f(xy), 有 d f d x = d f d y \frac{\text{d}f}{\text{d}x}\ = \frac{\text{d}f}{\text{d}y} dxdf =dydf (即 y x ′ = y y ′ y'_x=y'_y yx′=yy′) 的原理
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图像题需要平移坐标
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∫ a b t e t d t = ? \int_a^b{te^t\text{d}t}=? ∫abtetdt=?
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{ x → x 0 x → ∞ \left\{ \begin{array}{l}x\rightarrow x_0\\x\rightarrow \infty\\\end{array} \right. {x→x0x→∞ 广义积分敛散性判别
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三角函数求和公式
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三角函数和差化积公式
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曲率公式
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曲率半径公式
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在 [a, b] 上 F ( x ) = ∫ a x f ( x ) d x F\left( x \right) =\int_a^x{f\left( x \right) \text{d}x} F(x)=∫axf(x)dx 连续与可导的判别式
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已知 f(x,y) 的表达式, 则 f x ′ ( 0 , 0 ) f_x'\left( 0,0 \right) fx′(0,0) 的表达式
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连续，可微，编导连续，偏导存在 之间的关系
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隐函数存在定理
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欧拉方程
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证 f(x,y) 可微(二重极限存在性证明)
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求封闭局域D内( f ( x 0 , y 0 ) ≤ D f\left( x_0,y_0 \right) \le D f(x0,y0)≤D )的最值
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f + ′ ( x 0 ) f_+'\left( x_0 \right) f+′(x0) 与 lim x → x 0 + f ( x ) \lim_{x\rightarrow x_{0}^{+}}f\left( x \right) limx→x0+f(x) 的区别
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f ( x ) 在 x ∈ ( a , b ) 上的弧长公式 ( 直角坐标系 ) r ( Θ )在 Θ ∈ ( α , β ) 上的弧长公式 ( 极 坐 标 系 ) \begin{array}{l} f\left( x \right) \text{在}x\in \left( a,b \right) \text{上的弧长公式}\left( \text{直角坐标系} \right)\\ r\text{(}\varTheta \text{)在}\varTheta \in \left( \alpha ,\beta \right) \text{上的弧长公式}\left( 极坐标系 \right)\\ \end{array} f(x)在x∈(a,b)上的弧长公式(直角坐标系)r(Θ)在Θ∈(α,β)上的弧长公式(极坐标系)
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f ( x ) f\left( x \right) f(x), f ′ ( x ) f'\left( x \right) f′(x), ∫ a x f ( x ) d x \int_a^x{f\left( x \right) \text{d}x} ∫axf(x)dx, ∫ 0 x f ( x ) d x \int_0^x{f\left( x \right) \text{d}x} ∫0xf(x)dx 之间的奇偶性关系
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O ( x 3 ) O\left( x^3 \right) O(x3) 含义
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f(x) 的周期性
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开区间有界性定理
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曲线曲面公式汇总
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点到平面 A x + B y + C z = D Ax+By+Cz=D Ax+By+Cz=D 的距离
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绕x, y轴旋转围成的体积公式
线代（13）
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等价,相似,合同辨别条件
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相似对角化判别
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方程组 A m ∗ n x n ∗ 1 A_{m*n}x_{n*1} Am∗nxn∗1中 x x x { 同解 公共解 唯一解 无解 无穷多解 \left\{ \begin{array}{l}\text{同解}\\\text{公共解}\\ \text{唯一解}\\ \text{无解}\\ \text{无穷多解}\\ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧同解公共解唯一解无解无穷多解 与秩的关系
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求两个方程 { B x = 0 A x = 0 \left\{ \begin{array}{l} Bx=0\\ Ax=0\\ \end{array} \right. {Bx=0Ax=0 的公共解
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若 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( a x 1 + b x 2 + c x 3 ) 2 + ( d x 1 + e x 2 + f x 3 ) 2 + ( g x 1 + h x 2 + i x 3 ) 2 f\left( x_1,x_2,x_3 \right) =\left( ax_1+bx_2+cx_3 \right) ^2+\left( dx_1+ex_2+fx_3 \right) ^2+\left( gx_1+hx_2+ix_3 \right) ^2 f(x1,x2,x3)=(ax1+bx2+cx3)2+(dx1+ex2+fx3)2+(gx1+hx2+ix3)2 正定,则满足的条件有什么
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t r A trA trA 的公式
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克拉默法则
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分块矩阵求行列式
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通过 λ A = λ B \lambda _A=\lambda _B λA=λB 判断 A ∼ B A\sim B A∼B
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判断下列秩的关系 { A + B 与 A , B A − B 与 A , B A B 与 A , B A ∗ 与 A , B A T A 与 A \left\{ \begin{array}{l} A+B\text{与}A,B\\ A-B\text{与}A,B\\ AB\text{与}A,B\\ A^*\text{与}A,B\\ A^TA\text{与}A\\ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎧A+B与A,BA−B与A,BAB与A,BA∗与A,BATA与A
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A B = 0 AB=0 AB=0,则可得与秩有关的等式
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若 A x = 0 Ax=0 Ax=0与 B x = 0 Bx=0 Bx=0为同解方程组,则可得秩的等式
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A m ∗ n x = 0 A_{m*n}x=0 Am∗nx=0有k个线性无关的解,则可得 r ( A ) r\left( A \right) r(A) 的取值范围
概率（18）
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伽马函数
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高斯曲线
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切比雪夫不等式
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中心极限定理
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d L ( Θ ) d Θ \frac{\text{d}L\left( \varTheta \right)}{\text{d}\varTheta} dΘdL(Θ) 在最大似然估计中无法得 0 0 0
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{ x ˉ = 1 n ∑ i = 1 n x i x i ∼ N ( μ , σ 2 ) \left\{ \begin{array}{l} \bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}\\ x_i\sim N\left( \mu ,\sigma ^2 \right)\\ \end{array} \right. {xˉ=n1∑i=1nxixi∼N(μ,σ2),则 E ( x ˉ − x i ) E\left( \bar{x}-x_i \right) E(xˉ−xi), D ( x ˉ − x i ) D\left( \bar{x}-x_i \right) D(xˉ−xi)的值为多少
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若 x i ∼ N ( μ , σ 2 ) x_i\sim N\left( \mu ,\sigma ^2 \right) xi∼N(μ,σ2),则 n ∑ i = 1 n x i {n}\sum_{i=1}^n{x_i} n∑i=1nxi服从什么分布? x ˉ \bar{x} xˉ服从什么分布? a x 1 + b x 2 ax_1+bx_2 ax1+bx2服从什么分布? a x 1 − b x 2 ax_1-bx_2 ax1−bx2服从什么分布?
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用 F ( x ) F(x) F(x)表示这四个式子 { P { max { X , Y } ≥ a } P { max { X , Y } ≤ a } P { min { X , Y } ≥ a } P { min { X , Y } ≤ a } \left\{ \begin{array}{l} P\left\{ \max \left\{ X,Y \right\} \ge a \right\}\\ P\left\{ \max \left\{ X,Y \right\} \le a \right\}\\ P\left\{ \min \left\{ X,Y \right\} \ge a \right\}\\ P\left\{ \min \left\{ X,Y \right\} \le a \right\}\\ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧P{max{X,Y}≥a}P{max{X,Y}≤a}P{min{X,Y}≥a}P{min{X,Y}≤a}
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检验水平 α \alpha α的含义
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数理统计部分的6个推导式
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求 C o v ( X , Y ) Cov(X,Y) Cov(X,Y)的方法
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概率分布可加性定理
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x ˉ \bar{x} xˉ与 S 2 S^2 S2的关系是什么? 若 x i ∼ N ( μ , σ 2 ) x_i\sim N\left( \mu ,\sigma ^2 \right) xi∼N(μ,σ2),则 E ( S 2 ) = ? E\left( S^2 \right)=? E(S2)=? D ( S 2 ) = ? D\left( S^2 \right)=? D(S2)=?
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max { X , Y } ∗ min { X , Y } = ? \max \left\{ X,Y \right\}*\min \left\{ X,Y \right\}=? max{X,Y}∗min{X,Y}=?
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若 x i ∼ N ( μ , σ 2 ) x_i\sim N\left( \mu ,\sigma ^2 \right) xi∼N(μ,σ2),则 P { ∣ x − μ ∣ < a } = ? P\left\{ |x-\mu |P{∣x−μ∣<a}=?(用 Φ ( x ) \varPhi \left( x \right) Φ(x)表示)
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设 f ( x , y ) = { g ( x , y ) , x ∈ R , y ∈ R 0 , 其他 f\left( x,y \right) =\left\{ \begin{array}{l} g\left( x,y \right) ,x\in R,y\in R\\ 0,\text{其他}\\ \end{array} \right. f(x,y)={g(x,y),x∈R,y∈R0,其他,则 P { x > 1 2 ∣ y = 3 } P\left\{ x>\frac{1}{2}|y=3 \right\} P{x>21∣y=3}值为多少
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{ ∫ − ∞ + ∞ e − x 2 d x = ? ∫ 0 + ∞ e − x 2 d x = ? ∫ 0 + ∞ x e − x 2 d x = ? ∫ 0 + ∞ x 2 e − x 2 d x = ? ∫ 0 + ∞ x n e − x d x = ? \left\{ \begin{array}{l} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}dx}=?\\ \int\limits_0^{+\infty}{e^{-x^2}dx}=?\\ \int\limits_0^{+\infty}{xe^{-x^2}dx}=?\\ \int\limits_0^{+\infty}{x^2e^{-x^2}dx}=?\\ \int\limits_0^{+\infty}{x^ne^{-x}dx}=?\\ \end{array} \right. ⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎧−∞∫+∞e−x2dx=?0∫+∞e−x2dx=?0∫+∞xe−x2dx=?0∫+∞x2e−x2dx=?0∫+∞xne−xdx=?
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P ( A B ˉ ) = ? P\left( A\bar{B} \right)=? P(ABˉ)=?