Java动态规划 实现最长公共子序列以及最长公共子字符串

动态规划法

经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题，而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题，并综合子问题的解导出大问题的解的方法，问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加。

为了节约重复求相同子问题的时间，引入一个数组，不管它们是否对最终解有用，把所有子问题的解存于该数组中，这就是动态规划法所采用的基本方法。

【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列

问题描述：字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地（不一定连续）去掉若干个字符（可能一个也不去掉）后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0，x1，…，xm-1”，序列Y=“y0，y1，…，yk-1”是X的子序列，存在X的一个严格递增下标序列，i1，…，ik-1>，使得对所有的j=0，1，…，k-1，有xij=yj。例如，X=“ABCBDAB”，Y=“BCDB”是X的一个子序列。

考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题，设A=“a0，a1，…，am-1”，B=“b0，b1，…，bn-1”，并Z=“z0，z1，…，zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质：

（1） 如果am-1=bn-1，则zk-1=am-1=bn-1，且“z0，z1，…，zk-2”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列；

（2） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=am-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列；

（3） 如果am-1!=bn-1，则若zk-1!=bn-1，蕴涵“z0，z1，…，zk-1”是“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列。

这样，在找A和B的公共子序列时，如有am-1=bn-1，则进一步解决一个子问题，找“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bm-2”的一个最长公共子序列；如果am-1!=bn-1，则要解决两个子问题，找出“a0，a1，…，am-2”和“b0，b1，…，bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0，a1，…，am-1”和“b0，b1，…，bn-2”的一个最长公共子序列，再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。

求解：

引进一个二维数组c[][]，用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度，b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的，以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算，那么在计算c[i,j]之前，c[i-1][j-1]，c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j]，就可以计算出c[i][j]。

问题的递归式写成：

回溯输出最长公共子序列过程：

 

算法分析：
由于每次调用至少向上或向左（或向上向左同时）移动一步，故最多调用(m * n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况，此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反，步数相同，故算法时间复杂度为Θ(m * n)。

Java代码实现：

 public class LCSProblem
 {
     public static void main(String[] args)
     {
         //保留空字符串是为了getLength()方法的完整性也可以不保留
         //但是在getLength()方法里面必须额外的初始化c[][]第一个行第一列
         String[] x = {"", "A", "B", "C", "B", "D", "A", "B"};  //之所以要空出第一行（列），是因为c【】【】里面意思是两个字符数组分别多少个，0的意思就是某个串长度为0
         String[] y = {"", "B", "D", "C", "A", "B", "A"};

         int[][] b = getLength(x, y);

         Display(b, x, x.length-1, y.length-1);
     }
     /**
      * @param x
      * @param y
      * @return 返回一个记录决定搜索的方向的数组
      */
     public static int[][] getLength(String[] x, String[] y)
     {
         int[][] b = new int[x.length][y.length];
         int[][] c = new int[x.length][y.length];

         for(int i=1; i
         {
             for(int j=1; j
             {
                 //对应第一个性质
                 if( x[i] == y[j])
                 {
                     c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
                     b[i][j] = 1;
                 }
                 //对应第二或者第三个性质
                 else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1])
                 {
                     c[i][j] = c[i-1][j];
                     b[i][j] = 0;
                 }
                 //对应第二或者第三个性质
                 else
                 {
                     c[i][j] = c[i][j-1];
                     b[i][j] = -1;
                 }
             }
         }

         return b;
     }
     //回溯的基本实现，采取递归的方式
     public static void Display(int[][] b, String[] x, int i, int j)
     {
         if(i == 0 || j == 0)
             return;

         if(b[i][j] == 1)
         {
             Display(b, x, i-1, j-1);
             System.out.print(x[i] + " ");
         }
         else if(b[i][j] == 0)
         {
             Display(b, x, i-1, j);
         }
         else if(b[i][j] == -1)
         {
             Display(b, x, i, j-1);
         }
     }
 }

最长公共子字符串：类似最长子序列，只是公共子字符串要求必须是连续的。

子字符串的定义和子序列的定义类似，但要求是连续分布在其他字符串中。比如输入两个字符串BDCABA和ABCBDAB的最长公共字符串有BD和AB，它们的长度都是2。

      最长公共子字符串共有两种解决方法，下面具体说说我的思路

方法一：

     Longest Common Substring和Longest Common Subsequence是有区别的

     X =

     Y =

     X和Y的Longest Common Sequence为，长度为4

     X和Y的Longest Common Substring为 长度为2

    其实Substring问题是Subsequence问题的特殊情况，也是要找两个递增的下标序列

    和 使

     xi1 == yj1

    xi2 == yj2

    ......

    xik == yjk

    与Subsequence问题不同的是，Substring问题不光要求下标序列是递增的，还要求每次

   递增的增量为1， 即两个下标序列为：

   和

    类比Subquence问题的动态规划解法，Substring也可以用动态规划解决，令

    c[i][j]表示Xi和Yi的最大Substring的长度，比如(到i，j为止，最长的，包括i，j处的字符）

   X =

   Y =

   c[1][1] = 1

   c[2][2] = 2

   c[3][3] = 0

   c[4][4] = 1

   动态转移方程为：

   如果xi == yj， 则 c[i][j] = c[i-1][j-1]+1

   如果xi ! = yj,  那么c[i][j] = 0

   最后求Longest Common Substring的长度等于

   max{  c[i][j],  1<=i<=n， 1<=j<=m}

代码如下：但是同样注意第一行第一列为空应该：

 public static void LCP_String(char[] str1,char[] str2){
         int[][] c = new int[str1.length][str2.length];
         Stack stack = new Stack();
         int max = 0; // store the max length of the LCP String
         int x = 0;
         int y = 0;

         for(int i=1;i
             for(int j=1;j
                 if(str1[i] == str2[j]){
                     c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
                 }else{
                     c[i][j] = 0;
                 }
                 if(c[i][j] > max){
                     max = c[i][j];
                     x = i;
                     y = j;
                 }
             }
         }
         System.out.println(max);
         for(int i=x, j=y;c[i][j] != 0;i--,j--){
             stack.add(str1[i]);
         }
         while(!stack.isEmpty()){
             System.out.print(stack.pop());
         }
     }