后缀自动机（SAM）学习小记

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自动机的概念此处不解释。。

引入

我们需要一种数据结构能够识别一个字符串S的所有后缀

一种方法是直接建一棵Trie树，把每个后缀扔到里面去

这样的时空复杂度都是O(N^2)的，不能满足我们的要求

SAM应运而生

观察建好的Trie树，我们发现有很多的状态是冗余的，利用率低下

核心思想

SAM的思想就是将同一类的状态缩到一个点上
这样原来的Trie就变成了一个DAG

定义集合 Right R i g h t 表示某一个节点所代表的字符串在S中的出现位置的右端点的集合

对于Trie上某一个节点，它所代表的字符串是唯一的，是S的某一个子串。

对于某一个节点记录一个 len l e n ，表示根到这个点的距离，也就是所代表的串的长度。
那么只要有了Right集和len，我们就能获得这个字符串了
就是Right集中的位置向左len个长度

为了方便理解，设Right集合中的元素为 w1 w 1 ~ wm w m
那么 S[w1−len+1...w1]=S[w2−len+1...w2]=...... S [ w 1 − l e n + 1... w 1 ] = S [ w 2 − l e n + 1... w 2 ] = . . . . . . ，这就是它所代表的字符串

我们尝试合并状态，尝试将Trie上所有Right集相同的点缩到一起

那么合并以后，一个节点所代表的字符串变成了多个，一个节点的len变成了一个区间，记为 [min,max] [ m i n , m a x ]

这个节点所代表的字符串就是Right集中的位置向左[min,max]这个区间长度所得到的字符串集合

定义 fail f a i l 指针表示Right集包含当前节点的Right集，并且其最小的位置

设当前点为p
那么显然有性质，fail[p]所代表的字符串一定都是p所代表的字符串的后缀
并且 minp=maxfail[p]+1 m i n p = m a x f a i l [ p ] + 1
所以实际上我们并不需要记录min

画个图很容易发现这是正确的
可以发现fail指针构成了一棵树

合并后的东西就是构造出来的SAM了

SAM的性质

首先显而易见的，这个SAM不仅能识别S串所有的后缀，同时也能识别所有的子串，并且相同的子串不会重复出现

对SAM进行DFS，走过的边组成的字符串就是S的子串，每种走法唯一对应一个子串

其次，节点之间的Right集要么一个是另一个的真子集（在fail树上的祖先），要么就不相交

如果Right集合是相交的，那么一个串必定是另一个串的后缀，那么一定成真子集关系

第三，它的转移边数和节点数都是O(|S|)的

放到fail树上考虑

很明显，因为要么不相交，要么是真子集，那么最坏情况就是叶子节点的Right集只有一个元素，然后每增加一个节点就合并一些

显而易见最多只会有2|S|个节点

同时转移边数也是O(|S|)的

此处不给出证明，有兴趣者可以自行查找。。。

SAM的构造

现在的问题是如何在O(|S|)的复杂度内将这个SAM构造出来

考虑已经构造出了S的一个前缀S1，这个前缀结尾位置为 L L ，的SAM，然后在后面新加入一个字符设为 c c ，并在SAM上加入相应的边和点

假设之前走到的最末的一个点为 last l a s t ，最末指的是有一条路径到达last，使得这条路径的字符串对应了前缀S1，显然 Rightlast={L} R i g h t l a s t = { L }

我们需要对所有Right集合中有L这个位置的点进行修改，因为这些点可以走一条c的边进入我们新的状态。

Right集合有L这个位置，那就是last的fail树上到根的路径咯

新加一个点np

那么从last开始在fail指针上跑，如果跑到的点没有c的出边，那就加上，指向np（直到跑到根）

如果当前点（设为p）有一个c的出边了，指向q

那么是不是应该将np的fail指向q呢

不一定

举个例子

S串为BAAAcAAAAc

p所代表的最长的串是AAA，即 maxp=3 m a x p = 3
分情况讨论

• maxp+1=maxq m a x p + 1 = m a x q ，也就是说q代表的最长的串是AAAc，q最多只能从p过来，没有比p过来更长的了，此时发现q的Right集真包含了np的Right集，并且显然 Rightq R i g h t q 是最小的
  那么 failp=q f a i l p = q

• maxp+1<maxq m a x p + 1 < m a x q ，q代表的最长的串可能是BAAAc，发现它的Right集和np没半毛钱关系
  此时可以新建节点nq，将q拆成两部分，一部分就是nq, maxnq=maxp+1 m a x n q = m a x p + 1 ，一部分就是剩下的q，max不变， minq=maxnq+1 m i n q = m a x n q + 1
  实际意义就是将长度小于等于AAAc切出来给nq，把长度大于它的留给原来的q
  nq最长代表AAAc，q最短代表BAAAc
  那么显然 failq=nq f a i l q = n q ，可以发现此时nq和第一条一样了，那么 failnp=nq f a i l n p = n q
  同时nq的出边、fail全部复制q的，这也显而易见
  然后可以发现现在的p已经不能走到q了，而是走到nq
  那么从p开始，沿着p的fail链走，如果c的出边是q的改成nq，直到找到第一个不是的。（上面的肯定都不是了）或者已经到根

那么就构造完毕了

其他的复杂度显然，只需要考虑在fail上跳的复杂度

记住结论就好了，总复杂度仍然是O（N）的
此处不给出证明，有兴趣者可以自行查找其实是博主太弱不会势能分析。。。

模板的话，可以参考http://blog.csdn.net/hzj1054689699/article/details/78743488

广义SAM

就是可以多个字符串的SAM合并成一个

有在线和离线的两种构造方法
离线：
首先将这个这些字符串建成Trie，然后在Trie上BFS，按照这个的顺序向SAM里加，last相应的是Trie上的父亲

为啥不能DFS？好像是说势能分析的时候会出锅

在线：
动态加字符串，加完一个串就把last移回根
然后重新想之前一样构造，需要注意的是，如果我们需要新建的位置已经有点了，那么需要像之前对跑fail链上的时候对max进行讨论，过程和之前新建np的过程几乎完全一样

应用

因为SAM可以识别S的所有字串，所以。。。

最基础的就是求两个串的最长公共子串，这是O（N）的
直接将其中一个建好SAM，用另一个在上面跑，匹配失败就沿着fail跳，当前最长长度就是当前点的max

还可以在SAM上DP，fail树上DP什么的。。。