常用拉普拉斯变换

• 基本性质

性质	公式表示
线性定理-齐次性	$L[af(t)]=aF(s)$
线性定理-叠加性	$L(f_1(t)\pm f_2(t))=F_1(s)\pm F_2(s)$
微分定理-一阶导	$L[\frac{df(t)}{dt}]=sF(s)-f(0)$
微分定理-二阶导	$L[\frac{d^{2}f(t)}{d{t}^2}]=s^{2}F(s)-sf(0)-f^{\prime }(0)$
微分定理-n阶导	$L[\frac{d^{n}f(t)}{d{t}^n}]=s^{n}F(s)-{\sum }_{k=1}^n{s}^{n-k}{f}^{k-1}(0)$
微分定理	$L[tf(t)]=-\frac{d}{ds}F(s)$
积分定理-一阶导	$L[\int f(t)dt]=\frac{F(s)}{s}+\frac{[\int f(t)dt{]}_{t=0}}{s}$
积分定理-二阶导	$L[\iint f(t)(dt{)}^2]=\frac{F(s)}{s^2}+\frac{[\int f(t)dt{]}_{t=0}}{s^2}+\frac{[\iint f(t)(dt{)}^2{]}_{t=0}}{s}$
积分定理-n阶导	$L[\stackrel{n}{\int \dots \int }f(t)(dt{)}^n]=\frac{F(s)}{s^n}+{\sum }_{k=1}^n\frac{[\stackrel{k}{\int \dots \int }f(t)(dt{)}^k{]}_{t=0}}{s^{n-k+1}}$
延迟定理	$L[f(t-T)1(t-T)]=e^{-Ts}F(s)$
衰减定理	$L[f(t)e^{-at}]=F(s+a)$
终值定理	$\underset{t\to \infty }{\lim }f(t)=\underset{s\to 0}{\lim }sF(s)$
初值定理	$\underset{t\to 0}{\lim }f(t)=\underset{s\to \infty }{\lim }sF(s)$
卷积定理	$L[{\int }_0^t{f}_1(t-\tau )f_2(\tau )d\tau ]=F_1(s)F_2(s)$
尺度定理	$L[f(at)]=\frac{1}{|a|}f(\frac{s}{a})$

• 常用函数的变换

时间函数	变换后	时间函数	变换后
$\delta (t)$	1	$1-e^{-at}$	$\frac{a}{s(s+a)}$
${\delta }_T(t)={\sum }_{n=0}^{\infty }\delta (t-nT)$	$\frac{1}{1-e^{-Ts}}$	$e^{-at}-e^{-bt}$	$\frac{b-a}{(s+a)(s+b)}$
$1(t)$	$\frac{1}{s}$	$\sin \omega t$	$\frac{\omega }{s^2+{\omega }^2}$
$t$	$\frac{1}{s^2}$	$\cos \omega t$	$\frac{s}{s^2+{\omega }^2}$
$\frac{t^2}{2}$	$\frac{1}{s^3}$	$e^{-at}\sin \omega t$	$\frac{\omega }{(s+a{)}^2+{\omega }^2}$
$\frac{t^n}{n}$	$\frac{1}{s^{n+1}}$	$e^{-at}\cos \omega t$	$\frac{s+a}{(s+a{)}^2+{\omega }^2}$
$e^{-at}$	$\frac{1}{s+a}$	$a^{t/T}$	$\frac{1}{s-(1/t)\ln a}$
$t{e}^{-at}$	$\frac{1}{(s+a{)}^2}$