统计学习方法（机器学习）——7.2、支持向量机（线性支持向量机与软间隔最大化）

支持向量机SVM

接上文：线性可分支持向量机与硬间隔最大化

线性支持向量机与软间隔最大化

线性SVM

        线性可分问题SVM学习方法，对线性不可分训练数据是不适用的，因为此时上文中的不等式约束并不能都成立。需要修改硬间隔最大化，使其成为软间隔最大化。
        假设给定一个特征空间上的的训练数据集
$$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_N)\}$$
再假设训练数据集不是线性可分的。通常情况是，训练数据中有一些特异点（噪声点），将这些点除去后，剩下的大部分样本点组成的集合是线性可分的。
        线性不可分意味着某些样本点$(x_i,y_i)$不能满足函数间隔大于等于1的约束条件，即上文中的式（14）。为了解决这个问题，可以对每个样本点$(x_i,y_i)$引入一个松弛变量 $\xi \ge 0$，使得函数间隔加上松弛变量大于等于1。这样，约束条件变为：
$$s.t.y_i(w\cdot x_i+b)\ge 1-{\xi }_i$$
同时，对每个松弛变量${\xi }_i$，支付一个代价${\xi }_i$。目标函数由原来的$\frac{1}{2}||w|{|}^2$变成
$$\frac{1}{2}||w|{|}^2+C\sum _{i=1}^N{\xi }_i\text{\hspace{1em}(1)}$$
这里，$C>0$称为惩罚参数，一般由应用问题决定。$C$值大的时候对误分类的惩罚增大，$C$值小的时候对误分类的惩罚减小。最小化目标函数（1）包含两层含义：

• 使 $\frac{1}{2}||w|{|}^2$尽量小即间隔尽量大
• 同时使误分类点的个数尽量小

C是调和二者的系数。

        线性不可分的SVM学习问题变成如下凸二次规划问题（原始问题）：
$$\underset{w,b,\xi }{\min }\frac{1}{2}||w|{|}^2+C\sum _{i=1}^N{\xi }_i\text{\hspace{1em}(2)}$$
$$s.t.y_i(w\cdot x_i+b)\ge 1-{\xi }_i,i=1,2,...,N\text{\hspace{1em}(3)}$$
$${\xi }_i\ge 0,i=1,2,...,N\text{\hspace{1em}(4)}$$
        如果求出来约束最优化问题（2）~（4）的解$w^{\ast },b^{\ast }$，就可以得到最大间隔分离超平面$w^{\ast }\cdot x+b^{\ast }=0$及分类决策函数$f(x)=sign(w^{\ast }\cdot x+b^{\ast })$，即训练样本线性不可分时的线性SVM。 显然，线性SVM是包含线性可分SVM的。

定义 线性SVM
        对于给定线性不可分训练数据集，通过求解凸二次规划问题，即软间隔最大化问题（2）~（4），得到的分离超平面为：
$$w^{\ast }\cdot x+b^{\ast }=0\text{\hspace{1em}(5)}$$
以及相应的分类决策函数
$$f(x)=sign(w^{\ast }\cdot x+b^{\ast })\text{\hspace{1em}(6)}$$
称为线性SVM。

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学习的对偶算法

        原始问题（2）~（4）的对偶问题是
$$\underset{\alpha }{\min }\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i\cdot x_j)-\sum _{i=1}^N{\alpha }_i\text{\hspace{1em}(7)}$$
$$s.t.\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i=0\text{\hspace{1em}(8)}$$
$$0\le {\alpha }_i\le C,i=1,2,...,N\text{\hspace{1em}(9)}$$
        通过求解对偶问题而得到原始问题的解，进而确定分离超平面和决策函数。

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定理
        设${\alpha }^{\ast }=({\alpha }_1^{\ast },{\alpha }_2^{\ast },...,{\alpha }_N^{\ast }{)}^T$是对偶最优化问题（7）~（9）对 $\alpha$ 的解，则存在下标$j$，使得$0<{\alpha }_j^{\ast }<C$，并可按下式求得原始最优化问题（2）~（4）的解$w^{\ast },b^{\ast }$:
$$w^{\ast }=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^{\ast }{y}_i{x}_i\text{\hspace{1em}(10)}$$
$$b^{\ast }=y_j-\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^{\ast }{y}_i(x_i\cdot x_j)\text{\hspace{1em}(11)}$$

        由定理可知，分离超平面可以写成
$$\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^{\ast }{y}_i(x\cdot x_i)+b^{\ast }=0\text{\hspace{1em}(12)}$$
$$f(x)=sign\left(\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^{\ast }{y}_i(x\cdot x_i)+b^{\ast }\right)\text{\hspace{1em}(13)}$$
式（24）称为线性SVM的对偶形式。

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算法 线性可分SVM学习算法

输入：线性可分的训练集$T=\{(x_1,y_1),(x_2,y_2),...,(x_N,y_n=N))\}$，其中$X\in \mathcal{X}=R^n$，$y_i\in \mathcal{Y}=\{+1,-1\},i=1,2,...,N$
输出：分离超平面和分类决策函数。

（1）选择惩罚参数$C>0$，构造并求解约束最优化问题
$$\underset{\alpha }{\min }\frac{1}{2}\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\alpha }_i{\alpha }_j{y}_i{y}_j(x_i\cdot x_j)-\sum _{i=1}^N{\alpha }_i$$
$$s.t.\sum _{i=1}^N{\alpha }_i{y}_i=0$$
$$0\le {\alpha }_i\le C,i=1,2,...,N$$
求得最优解${\alpha }^{\ast }=({\alpha }_1^{\ast },{\alpha }_2^{\ast },...,{\alpha }_N^{\ast }{)}^T$。

（2）计算
$$w^{\ast }=\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^{\ast }{y}_i{x}_i$$
并选择${\alpha }^{\ast }$的一个正分量$0<{\alpha }_j^{\ast }<C$，计算
$$b^{\ast }=y_j-\sum _{i=1}^N{\alpha }_i^{\ast }{y}_i(x_i\cdot x_j)$$

（3）求得分离超平面
$$w^{\ast }\cdot x+b^{\ast }=0$$
分类决策函数：
$$f(x)=sign(w^{\ast }\cdot x+b^{\ast })$$

        由于原始问题对$b$的解并不唯一，在实际计算时可以取在所有符合条件的样本点上的平均值。

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支持向量

        在线性不可分的情况下，将对偶问题（7）~（9）的解${\alpha }^{\ast }=({\alpha }_1^{\ast },{\alpha }_2^{\ast },...,{\alpha }_N^{\ast }{)}^T$中对应于${\alpha }_i^{\ast }>0$的样本点$(x_i,y_i)$的实例$x_i$称为支持向量（软间隔的支持向量）。如下图所示：

        软间隔的支持向量$x_i$或者在间隔边界上，或者在间隔边界与分离超平面之间，或者在分离超平面误分一侧。

• 若 ${\alpha }^{\ast }<C，则{\xi }_i=0$，支持向量$x_i$恰好落在间隔边界上；
• 若 ${\alpha }^{\ast }=C，0<{\xi }_i<1$，则分类正确，支持向量$x_i$在间隔边界与分离超平面之间；
• 若 ${\alpha }^{\ast }=C，{\xi }_i=1$，则支持向量$x_i$在分离超平面上；
• 若 ${\alpha }^{\ast }=C，{\xi }_i>1$，则支持向量$x_i$位于分离超平面误分一侧。

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合页损失函数

        线性SVM学习还有另外一种解释，就是最小化以下目标函数：
$$\sum _{i=1}^N{\left[1-y_i(w\cdot x_i+b)\right]}_{+}+\lambda ||w|{|}^2\text{\hspace{1em}(14)}$$
目标函数的第1项是经验损失或经验风险，函数
$$L(y(w\cdot x+b))={\left[1-y_i(w\cdot x_i+b)\right]}_{+}\text{\hspace{1em}(15)}$$
称为合页损失函数(hinge loss function)。下标“+”表示以下取正值的函数：
$$[z{]}_{+}=\{\begin{array}{ll}z& z>0\\ 0& z\le 0\end{array}\text{\hspace{1em}(16)}$$
这就是说，当样本点$(x_i,y_i)$被正确分类且函数间隔（确信度）$y_i(w\cdot x_i+b)$大于1时，损失是0，否则损失是$1-y_i(w\cdot x_i+b)$。目标函数的第2项是系数为 $\lambda$ 的 $w$ 的 $L_2$ 范数，是正则化项。

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定理
        线性SVM原始最优化问题：
$$\underset{w,b,\xi }{\min }\frac{1}{2}||w|{|}^2+C\sum _{i=1}^N{\xi }_i$$
$$s.t.y_i(w\cdot x_i+b)\ge 1-{\xi }_i,i=1,2,...,N$$
$${\xi }_i\ge 0,i=1,2,...,N$$
等价于最优化问题
$$\underset{w,b}{\min }\sum _{i=1}^N{\left[1-y_i(w\cdot x_i+b)\right]}_{+}+\lambda ||w|{|}^2$$

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        合页损失函数的图形如下所示，横轴是函数间隔$(y(w\cdot x+b)$，纵轴是损失。由于函数形状像一个合页，所以称为合页损失函数。
        图中还画出了0-1损失函数，可以认为它是二类分类问题真正的损失函数，而合页损失函数是0-1损失函数的上界。由于0-1损失函数不是连续可导的，直接优化由其构成的目标函数比较困难，可以认为线性SVM是优化0-1损失函数的上界（合页损失函数）构成的目标函数。这时的上界损失函数又称为代理损失函数。

        上图中虚线显示的是感知机的损失函数${\left[y_i(w\cdot x_i+b)\right]}_{+}$。这时，当样本点$(x_i,y_i)$被正确分类时，损失是0，否则损失是$-y_i(w\cdot x_i+b)$。相比之下，合页损失函数不仅要分类正确，而且确信度足够高时损失才是0。也就是说，合页损失函数对学习有更高的要求。