隐马尔可夫模型（HMM）未完待续……

隐马尔可夫模型（HMM）

1、模型背景

  现实生活中很多事情的发生都是有规律可循的，即表现出来的结果，受到某些“隐藏”因素的影响。举个例子，某个人事业成功与否，这与他自身是否努力有一定关系的。其表现出来的状态是成功或者失败，而隐藏的影响因素为努力与否。对于类似这类问题可以通过统计学的方法，计算表现结果为X的情况下，隐藏状态为Y的概率即$P(Y|X)$。利用这个概率可以将给定的表现结果X,标注上其最有可能对应的隐藏状态Y。这就是机器学习中样本标注的过程。

贝叶斯公式：
$$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}{P(B)}\text{\hspace{1em}(1)}$$
$$X=\{x_1,x_2,\cdots ,x_n\}Y=\{y_1,y_2,\cdots ,y_n\}$$
$$\begin{array}{rl}P(Y|X)& =P(y_1,y_2,...,y_n|x_i,x_2,\cdots ,x_n)\\ & =\frac{P(x_1,x_2,...,x_n|y_1,y_2,\cdots ,y_n)P(y_1,y_2,\cdots ,y_n)}{P(x_1,x_2,\cdots ,x_n)}\\ & \propto P(x_1,x_2,...,x_n|y_1,y_2,\cdots ,y_n)P(y_1,y_2,\cdots ,y_n)\end{array}$$
其中
$$\begin{array}{rl}P(y_1,y_2,\cdots ,y_n)& =P(y_1)P(y_2,\cdots ,y_n|y_1)\\ & =P(y_1)P(y_2|y_1)P(y_3,\cdots ,y_n|y_1,y_2)\\ & =P(y_1)P(y_2|y_1)P(y_3|y_1,y_2)P(y_4,\cdots ,y_n|y_1,y_2,y_3)\\ & =P(y_1)P(y_2|y_1)P(y_3|y_1,y_2)\cdots P(y_i|y_1,\cdots ,y_{i-1})P(y_{i+1},\cdots ,y_n|y_1,\cdots ,y_i)\\ & =P(y_1)\prod _{i=2}^{n}P(y_i|y_1,\cdots ,y_{i-1})\end{array}$$
假设隐藏状态$y_i$仅与前一状态$y_{i-1}$有关(即齐次性假设)，而与其他状态无关，则
$$P(y_1)\prod _{i=2}^{n}P(y_i|y_1,\cdots ,y_{i-1})\approx P(y_1)\prod _{i=2}^{n}P(y_i|y_{i-1})\text{\hspace{1em}(2)}$$
而
$$\begin{array}{rl}P(x_1,x_2,...,x_n|y_1,y_2,\cdots ,y_n)& =P(x_1|y_1,\cdots ,y_n)P(x_2,\cdots ,x_n|x_1,y_1,\cdots ,y_n)\\ & =P(x_1|y_1,\cdots ,y_n)P(x_2|x_1,y_1,\cdots ,y_n)P(x_3,\cdots ,x_n|x_1,x_2,y_1,\cdots ,y_n)\\ & =P(x_1|y_1,\cdots ,y_n)P(x_2|x_1,y_1,\cdots ,y_n)\cdots P(x_i|x_1,\cdots ,x_{i-1},y_1,\cdots ,y_n)\\ & P(x_{i+1},\cdots ,x_n|x_1,\cdots ,x_i,y_1,\cdots ,y_n)\\ & =\prod _{i=1}^{n}P(x_i|x_1,\cdots ,x_{i-1},y_1,\cdots ,y_n)\end{array}$$
假设当前的表现$x_i$仅与当前的隐藏状态$y_i$有关，与其他时刻的表现及隐藏状态无关（独立性假设），则
$$\prod _{i=1}^{n}P(x_i|x_1,\cdots ,x_{i-1},y_1,\cdots ,y_n)\approx \prod _{i=1}^{n}P(x_i|y_i)\text{\hspace{1em}(3)}$$
结合公式（2）和公式（3）则有如下关系：
$$P(y_1,y_2,...,y_n|x_i,x_2,\cdots ,x_n)\propto \prod _{i=1}^{n}P(x_i|y_i)P(y_i|y_{i-1})\text{\hspace{1em}(4)}$$
公式（4）需满足一个初始条件，中当$i=1$时，$P(y_1|y_0)=P(y_1)$。公式（4）所代表的模型即为隐马尔可夫模型。

2、模型定义

  隐马尔可夫模型是关于时序的概率模型，描述由一个隐藏的马尔可夫链随机生成不可观测的状态随机序列，再由各个状态生成一个观测从而产生观测随机序列的过程。隐藏的马尔可夫链随机生成的状态的序列，称为状态序列（state sequence）；每个状态生成一个观测，而由此产生的观测的随机序列，称为观测序列（observation sequence）。序列的每一个位置又可以看作是一个时刻。
  隐马尔可夫模型由初始概率分布、状态转移概率分布以及观测概率分布确定。隐马尔可夫模型的定义如下：
  设$Q$是所有可能的状态的集合，$V$是所有可能的观测的集合：
$$Q=\{q_1,q_2,\cdots ,q_N\},V=\{v_1,v_2,\cdots ,v_M\}$$
其中，$N$是可能的状态数，$M$是可能的观测数。
$I$ 是长度为 $T$ 的状态序列，$O$是对应的观测序列：

$$I=\{i_1,i_2,\cdots ,i_T\},O=\{o_1,o_2,\cdots ,o_T\}$$
  $A$是状态转移概率矩阵：
$$A=[a_{ij}{]}_{N\times N}$$
其中，
$$a_{ij}=P(i_{t+1}=q_j|i_t=q_i),i=1,2,\cdots ,N;j=1,2,\cdots ,N$$
代表在$t$时刻处于$q_i$的条件下在$t+1$时刻转移到状态$q_j$的概率。
  $B$代表观测矩阵：
$$B=[b_j(k){]}_{N\times M}$$
其中，
$$b_j(k)=P(o_t=v_k|i_t=q_j)j=1,2,\cdots ,N;k=1,2,\cdots ,M$$
代表在$t$时刻处于$q_j$的条件下生成观测$v_k$的概率。
  $\pi$是初始状态概率向量：
$$\pi =({\pi }_i)$$
其中，
$${\pi }_i=P(i_1=q_i)i=i,2,\cdots ,N$$
代表$t=1$的时刻，状态为$q_i$的概率。
  隐马尔可夫模型由初始状态概率向量$\pi$、状态转移概率矩阵$A$和观测概率矩阵$B$决定。$\pi$和$A$决定状态序列，$B$决定观测序列。因此，隐马尔可夫模型$\lambda$可以用三元符号表示，即
$$\lambda =(A,B,\pi )$$
$A$,$B$,$\pi$称位隐马尔可夫模型的三要素。
  状态转移概率矩阵$A$与初始状态概率向量$\pi$确定了隐藏的马尔可夫链，生成不可观测的状态序列。观测概率矩阵$B$确定了如何从状态生成观测，与状态序列综合确定了如何产生观测序列。
  前面背景介绍中涉及到的两种基本假设，下面在这里进行详细介绍：
（1）齐次马尔可夫假设，即假设隐藏的马尔可夫链在任意时刻$t$的状态只依赖于其前一时刻的状态，与其他时刻的状态及观测无关，也与时刻t无关：
$$P(i_t|i_{t-1},o_{t-1},\cdots ,i_1,o_1)=P(i_t|i_{t-1}),t=1,2,\cdots ,T\text{\hspace{1em}(5)}$$
（2）观测独立性假设，即假设任意时刻的观测只依赖于该时刻的马尔可夫链的状态，与其他观测及状态无关：
$$P(o_t|i_T,o_T,i_{T-1},o_{T-1},\cdots ,i_{t+1},o_{t+1},i_t,i_{t-1},o_{t-1},\cdots ,i_1,o_1)=P(o_t|i_t)\text{\hspace{1em}(6)}$$
  隐马尔可夫模型可以用于标注，这是状态对应着标记。标注问题是给定观测的序列预测其对应的标记序列。可以假设标注问题的数据是由隐马尔可夫模型生成的。这样我们可以利用隐马尔可夫模型的学习与预测算法进行标注。
  本节内容可以用一句话简单概括，一个定义，二个假设，三个要素。

3、模型的三个基本问题

3.1、概率计算问题

  给定模型$\lambda =(A,B,\pi )$和观测序列$O=(o_1,o_2,\cdots ,o_T)$，计算在模型$\lambda$下观测序列$O$出现的概率$P(O|\lambda )$。
1、直接计算法
  给定模型$\lambda =(A,B,\pi )$和观测序列$O=(o_1,o_2,\cdots ,o_T)$，计算观测序列$O$出现的概率$P(O|\lambda )$。最直接的方法是按照概率公式直接计算。列举所有可能的长度为$T$的状态序列$I=(i_1,i_2,\cdots ,i_T)$，求各个状态序列$I$与观测序列$O=(o_1,o_2,\cdots ,o_T)$的联合概率$P(O,I|\lambda )$，然后对所有可能的状态序列求和，得到$P(O|\lambda )$。
  状态序列$I=(i_1,i_2,\cdots ,i_T)$的概率是：
$$P(I|\lambda )={\pi }_{i_1}{a}_{i_1{i}_2}{a}_{i_2{i}_3}\cdots a_{i_{T-1}{i}_T}\text{\hspace{1em}(7)}$$
  对固定的状态序列$I=(i_1,i_2,\cdots ,i_T)$，生成观测序列$O=(o_1,o_2,\cdots ,o_T)$的概率是：
$$P(O|I,\lambda )=b_{i_1}(o_1)b_{i_2}(o_2)\cdots b_{i_T}(o_T)\text{\hspace{1em}(8)}$$
  $O和I同时出现的联合概率为$
$$P(O,I|\lambda )=P(O|I,\lambda )P(I|\lambda )={\pi }_{i_1}{b}_{i_1}(o_1)a_{i_1{i}_2}{b}_{i_2}(o_2)\cdots a_{i_{T-1}{i}_T}{b}_{i_T}(o_T)\text{\hspace{1em}(9)}$$
  $然后，对所有可能的状态序列I求和，得到观测序列O的概率P(O|\lambda )，即$
$$P(O|\lambda )=\sum _{I}P(O|I,\lambda )P(I|\lambda )=\sum _{i_1,i_2,\cdots ,i_T}{\pi }_{i_1}{b}_{i_1}(o_1)a_{i_1{i}_2}{b}_{i_2}(o_2)\cdots a_{i_{T-1}{i}_T}{b}_{i_T}(o_T)\text{\hspace{1em}(10)}$$
  按照第2小节所介绍的，所有状态的集合为$Q$，集合内的元素个数为$N$。那么对于长度为$T$的状态序列$I$，其对应的任意时刻都有$N$种选择，因此对于状态序列$I$就有$N^T$种选择。这样不难看出，公式（10）计算量很大，时间复杂度是$O(T{N}^T)$，这种算法基本不可行。
2、前向算法
  定义(前向概率) 给定隐马尔可夫模型$\lambda$，定义到时刻$t$部分观测序列为$o_1,o_2,\cdots ,o_t$且状态为$q_i$的概率为前向概率，记作
$${\alpha }_t(i)=P(o_1,o_2,\cdots ,o_t,i_t=q_i|\lambda )\text{\hspace{1em}(11)}$$
  算法(观测序列概率的前向算法)
  输入：隐马尔可夫模型$\lambda$，观测序列$O$；
  输出：观测序列概率$P(O|\lambda )$。
（1）初值
$${\alpha }_1(i)={\pi }_i{b}_i(o_1),i=1,2,\cdots ,N\text{\hspace{1em}(12)}$$
（2）递推   对$t=1,2,\cdots ,T-1,$
$${\alpha }_{t+1}(i)=[\sum _{j=1}^N{\alpha }_t(j)a_{ji}]b_i(o_{t+1})\text{\hspace{1em}(13)}$$
（3）终止
$$P(O|\lambda )=\sum _{i=1}^N{\alpha }_T(i)\text{\hspace{1em}(14)}$$
  前向算法，步骤（1）初始化前向概率，是初始时刻的状态$i_1=q_i$和观测$o_1$的联合概率。步骤（2）是前向概率的递推公式，计算时刻$t+1$部分观测序列为$o_1,o_2,\cdots ,o_t,o_{t+1}$且在时刻$t+1$处于状态$q_i$的前向概率，如图1所示。在公式（13）的方括号里，既然${\alpha }_t(j)$是到时刻$t$观测到$o_1,o_2,\cdots ,o_t$并在时刻$t$处于状态$q_j$的前向概率，那么乘积${\alpha }_t(j)a_{ji}$就是到时刻$t$观测到$o_1,o_2,\cdots ,o_t$并在时刻$t$处于状态$q_j$而在时刻$t+1$到状态$q_i$的联合概率。对这个乘积在时刻$t$的所有可能的$N$个状态$q_j$求和，其结果就是到时刻$t$观测为$o_1,o_2,\cdots ,o_t$并在时刻$t+1$处于状态$q_i$的联合概率。方括号里面的观测概率$b_i(o_{t+1})$的乘积恰好是到时刻$t+1$观测到$o_1,o_2,\cdots ,o_t,o_{t+1}$并在时刻$t+1$处于状态$q_i$的前向概率${\alpha }_{t+1}(i)$。步骤（3）给出$P(O|\lambda )$的计算公式。因为
$${\alpha }_T(i)=P(o_1,o_2,\cdots ,o_T,i_T=q_i|\lambda )$$
所以
$$P(O|\lambda )=\sum _{i=1}^N{\alpha }_T(i)$$

图 1 前向概率的递推公式
  如图2所示，前向算法实际是基于“状态序列的路径结构”递归计算 $P(O|\lambda )$的算法。前向算法高效的关键是其局部计算前向概率，然后利用路径结构将前向概率“递归”到全局，得到 $P(O|\lambda )$。具体地，在时刻 $t=1$，计算 ${\alpha }_1(i)$的 $N$个值 $(i=1,2,\cdots ,N);$在各个时刻 $t=1，2，\cdots ,T-1$，计算 ${\alpha }_{t+1}$的 $N$个值 $(i=1,2,\cdots ,N)$，而且每个 ${\alpha }_{t+1}$的计算利用前一时刻 $N$个 ${\alpha }_t(j)$。减少计算量的原因在于每一次计算直接引用前一个时刻的计算结果，避免重复计算。这样，利用前向概率计算 $P(O|\lambda )$的计算量是 $O(N^{2}T)$阶的。

图 2 观测序列路径结构

前向递推公式证明：
已知联合概率公式如下：
$$P(ABC)=P(AB|C)P(A|B)P(B)$$
基于上面公式证明如下：
$$\begin{array}{rl}\because {\alpha }_t(j)a_{ji}& =P(o_1,\cdots ,o_t,i_t=q_j|\lambda )P(i_{t+1}=q_i|i_t=q_j,\lambda )\\ & =P(o_1,\cdots ,o_t|i_t=q_j,\lambda )P(i_t=q_j|\lambda )P(i_{t+1}=q_i|i_t=q_j,\lambda )\\ & =P(o_1,\cdots ,o_t|i_t=q_j,\lambda )P(i_t=q_j,i_{t+1}=q_i|\lambda )\\ & =P(o_1,\cdots ,o_t|i_t=q_j,i_{t+1}=q_i,\lambda )P(i_t=q_j,i_{t+1}=q_i|\lambda )\\ & =P(o_1,\cdots ,o_t,i_t=q_j,i_{t+1}=q_i|\lambda )\end{array}$$

$$\begin{array}{rl}\therefore [\sum _{j=1}^N{\alpha }_t(j)a_{ji}]b_{t+1}(i)& =\sum _{j=1}^N[P(o_1,\cdots ,o_t,i_t=q_j,i_{t+1}=q_i|\lambda )]P(o_{t+1}|i_{t+1}=q_i,\lambda )\\ & =P(o_1,\cdots ,o_t,i_{t+1}=q_i|\lambda )P(o_{t+1}|i_{t+1}=q_i,\lambda )\\ & =P(o_1,\cdots ,o_t|i_{t+1}=q_i,\lambda )P(i_{t+1}=q_i|\lambda )P(o_{t+1}|i_{t+1}=q_i,\lambda )\\ & =P(o_1,\cdots ,o_t|i_{t+1}=q_i,\lambda )P(o_{t+1},i_{t+1}=q_i|\lambda )\\ & =P(o_1,\cdots ,o_t|o_{t+1},i_{t+1}=q_i,\lambda )P(o_{t+1},i_{t+1}=q_i|\lambda )\\ & =P(o_1,\cdots ,o_t,o_{t+1},i_{t+1}=q_i|\lambda )\\ & ={\alpha }_{t+1}(i)\end{array}$$

3、后向算法
  定义（后向概率） 给定隐马尔可夫模型$\lambda$，定义在时刻$t$状态为$q_i$的条件下，从$t+1$到$T$的部分观测序列为$o_{t+1},o_{t+2},\cdots ,o_T$的概率为后向概率，记作
$${\beta }_t(i)=P(o_{t+1},o_{t+2},\cdots ,o_T|i_t=q_i,\lambda )\text{\hspace{1em}(15)}$$
  算法（观测序列概率的后向算法）
输入：隐马尔可夫模型$\lambda$，观测序列$O$；
输出：观测序列概率$P(O|\lambda )$。
（1）初值
$${\beta }_T(i)=1,i=1,2,\cdots ,N$$
代表$t=T$时刻，任意状态的后向概率均为1。
（2）递推    对$t=T-1,T-2,\cdots ,1$
$${\beta }_t(i)=\sum _{j=1}^N{a}_{ij}{b}_j(o_{t+1}){\beta }_{t+1}(j),i=1,2,\cdots ,N\text{\hspace{1em}(16)}$$
（3）终止
$$P(O|\lambda )=\sum _{i=1}^N{\pi }_i{b}_i(o_1){\beta }_1(i)\text{\hspace{1em}(17)}$$
  步骤（1）初始化后向概率，对最终时刻的所有状态$q_i$规定${\beta }_T(i)=1$。步骤（2）是后向概率的递推公式。如图3所示，为了计算在时刻$t$状态为$q_i$条件下时刻$t+1$之后的观测序列为$O_{t+1},ot+2,\cdots ,o_T$的后向概率${\beta }_t(i)$，只需考虑在时刻$t+1$所有可能的$N$个状态$q_j$的转移概率（即$a_{ij}$），以及在此状态下的观测$o_{t+1}$的观测概率（即$b_j(o_{t+1})$项），然后考虑状态$q_j$之后的观测序列的后向概率（即${\beta }_{t+1}(j)$项）。步骤（3）求$P(O|\lambda )$的思路与步骤（2）一致，只是初始概率${\pi }_i$代替转移概率。

图 3 后向概率递推公式

后向递推公式证明：
$$\begin{array}{rl}\sum _{j=1}^N{a}_{ij}{b}_j(o_{t+1}){\beta }_{t+1}(j)& =\sum _{j=1}^{N}P(i_{t+1}=q_j|i_t=q_i,\lambda )P(o_{t+1}|i_{t+1}=q_j,\lambda )P(o_{t+2},\cdots ,o_T|i_{t+1}=q_j,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}P(i_{t+1}=q_j|i_t=q_i,\lambda )P(o_{t+1}|i_{t+1}=q_j,\lambda )P(o_{t+2},\cdots ,o_T|o_{t+1},i_{t+1}=q_j,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}P(i_{t+1}=q_j|i_t=q_i,\lambda )P(o_{t+1},o_{t+2},\cdots ,o_T|i_{t+1}=q_j,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}P(i_{t+1}=q_j|i_t=q_i,\lambda )P(o_{t+1},o_{t+2},\cdots ,o_T|i_t=q_i,i_{t+1}=q_j,\lambda )\\ & =\sum _{j=1}^{N}P(o_{t+1},o_{t+2},\cdots ,o_T,i_{t+1}=q_j|i_t=q_i,\lambda )\\ & =P(o_{t+1},o_{t+2},\cdots ,o_T|i_t=q_i,\lambda )\\ & ={\beta }_t(i)\end{array}$$

  利用前向概率和后向概率的定义可以将观测序列概率$P(O|\lambda )$统一写成
$$P(O|\lambda )=\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N{\alpha }_t(i)a_{ij}{b}_j(o_{t+1}){\beta }_{t+1}(j)\text{\hspace{1em}(18)}$$
4、一些概率与期望值的计算
  利用前向概率和后向概率，可以得到关于单个状态和两个状态概率的计算公式。

• 定义模型$\lambda$和观测$O$，在时刻$t$处于状态$q_i$的概率。记
  $${\gamma }_t(i)=P(i_t=q_i|O,\lambda )=\frac{P(i_t=q_i,O|\lambda )}{P(O|\lambda )}=\frac{{\alpha }_t(i){\beta }_t(i)}{{\sum }_{j=1}^N{\alpha }_t(j){\beta }_t(j)}\text{\hspace{1em}(19)}$$
• 给定模型$\lambda$和观测$O$，在时刻$t$处于状态$q_i$且在时刻$t+1$处于$q_j$的概率。记
  $$\begin{array}{rl}{\xi }_t(i,j)& =P(i_t=q_i,i_{t+1}=q_j|O,\lambda )\\ & =\frac{{\alpha }_t(i)a_{ij}{b}_j(o_{t+1}){\beta }_{t+1}(j)}{{\sum }_{i=1}^N{\sum }_{j=1}^N{\alpha }_t(i)a_{ij}{b}_j(o_{t+1}){\beta }_{t+1}(j)}\end{array}\text{\hspace{1em}(20)}$$
• 将${\gamma }_t(i)$和${\xi }_t(i,j)$对各个时刻$t$求和，可以得到一些有用的期望值。
  （1）在观测$O$下状态$i$出现的期望值：
  $$\sum _{t=1}^T{\gamma }_t(i)\text{\hspace{1em}(21)}$$
  （2）在观测$O$下由状态$i$转移的期望值：
  $$\sum _{t=1}^{T-1}{\gamma }_t(i)\text{\hspace{1em}(22)}$$
  （3）在观测$O$下由状态$i$转移到状态$j$的期望值：
  $$\sum _{t=1}^{T-1}{\xi }_t(i,j)\text{\hspace{1em}(23)}$$

3.2、学习问题

  隐马尔可夫模型的学习，根据训练数据是包括观测序列和对应的状态序列还是只有观测序列，可以分别由监督学习与无监督学习实现。

• 监督学习方法
    已知观测序列$O=(o_1,o_2,\cdots ,o_T)$，估计模型$\lambda =(A,B,\pi )$参数，使得在该模型下观测概率$P(O|\lambda )$最大。即用极大似然估计的方法估计参数。
  1、转移概率$a_{ij}$的估计
    设样本中时刻$t$处于状态$i$时刻$t+1$转移到状态$j$的频数为$A_{ij}$，那么状态转移概率为
  $$a_{ij}=\frac{A_{ij}}{{\sum }_{j=1}^N{A}_{ij}}i=1,2,\cdots ,N;j=1,2,\cdots ,N\text{\hspace{1em}(24)}$$
  2、观测概率$b_j(k)$的估计
    设样本中状态为$j$并观测为$k$的频数是$B_{jk}$，那么状态$j$观测为$k$的概率估计是：
  $$b_j(k)=\frac{B_{jk}}{{\sum }_{k=1}^M{B}_{}jk}j=1,2,\cdots ,N;k=1,2,\cdots ,M\text{\hspace{1em}(25)}$$
  3、初始状态概率${\pi }_i$的估计为$S$个样本中初始状态为$q_i$的频率。
• 无监督学习方法
    暂时略过

3.3、预测问题（解码问题）

  已知模型$\lambda =(A,B,\pi )$和观测序列$O=(o_1,o_2,\cdots ,o_T)$，求对给定观测序列条件概率$P(I|\lambda )$最大的状态序列$I=(i_1,i_2,\cdots ,iT)$。即给定观测序列，求最有可能的对应的状态序列。

• 近似算法
    近似算法的想法是，在每个时刻$t$选择在该时刻最有可能出现的状态$i_t^{\ast }$，从而得到一个状态序列$I^{\ast }(i_1^{\ast },i_2^{\ast },\cdots ,i_T^{\ast })$，将它作为预测的结果。
    给定隐马尔可夫模型$\lambda$和观测序列$O$，在时刻$t$处于状态$q_i$的概率${\gamma }_t(i)$是
  $${\gamma }_t(i)=\frac{{\alpha }_t(i){\beta }_t(i)}{{\sum }_{j=1}^N{\alpha }_t(j){\beta }_t(j)}$$
  在每一个时刻$t$最有可能的状态$i_t^{\ast }$是
  $$i_t^{\ast }=arg\underset{1\le i\le N}{\max }[{\gamma }_t(i)],t=1,2,\cdots ,T\text{\hspace{1em}(26)}$$
  从而得到状态序列$I^{\ast }(i_1^{\ast },i_2^{\ast },\cdots ,i_T^{\ast })$。
    近似算法的优点就是计算简单，其缺点是不能保证预测的状态序列整体是最有可能的状态序列，因为预测的状态序列可能有实际不发生的部分。事实上，上述方法得到的状态序列中有可能存在转移概率为0的相邻状态，即对于某些$i,j,a_{ij}=0$。尽管如此，近似算法仍然是有用的。
• 维特比算法
    维特比算法实际是用动态规划解隐马尔可夫模型预测问题，即用动态规划求概率最大路径（最优路径）。这时一条路径对应着一个状态序列。

4、模型应用

5、模型的偏执问题

  以词性标注的例子来描述偏执问题。词性标注是指给一段文字，标注出这段文字所对应的词性序列。
例如：
原文：延安供水工程建成通水。
正确标注结果：延安\ns 供水\vn 工程\n 建成\v 通水\v。
延安 ---------地名
供水 ---------名动词
工程 ---------名词
建成 ---------动词
通水 ---------动词
  预测过程中，需要尝试各种词性组合，最终通过HMM模型预测出概率最大的词性序列。因为有一些词性出现的频次非常低（比如rg 代词素），所以导致任何词性转移到rg的概率很低，但是有可能它的发射概率相对很高，最终导致预测的词性序列均为rg。注意：词性序列上每个词的词性由转移概率和发射概率共同决定。

实际中可能的预测情况：
（以下数据不具真实性，单纯用来举例）

词语	延安	供水	工程	建成	通水
正确的词性	\ns	\vn	\n	\v	\v
转移概率	5%	1.2%	1.5%	1.3%	1.1%
发射概率	2%	1%	2.3%	1.5%	1.6%

词语	延安	供水	工程	建成	通水
正确的词性	\rg	\rg	\rg	\rg	\rg
转移概率	0.01%	0.1%	0.1%	0.1%	0.1%
发射概率	10%	10%	10%	10%	10%

  对比以上两个表格不难发现，虽然rg的词性序列转移概率很小，但是发射概率相对较高，最终导致预测的结果为rg序列。这就是HMM模型处理过程中，如果选用的平滑处理方法不当，可能会出现的偏执问题。

6、预测结果数据分析

（1）为什么初始阶段随着训练样本的增加，模型的预测效率会越来越好？
答：第一、当样本规模较小，所训练出来的模型在进行预测时，未知错误所占的比重较大，因此导致准确率低。随着训练样本的增加，未知错误所占的比重降低，所以准确率提高。即所谓的“见多识广”。第二、因为样本有限，所以训练得到的模型对一些词性的预测很大概率是错误的，随着样本增加会逐渐纠正这些错误的概率。
（2）为什么后面阶段，随着训练样本的增加，预测效果趋于平缓？
答：因为很多词是存在多种词性即存在歧义，而如何判断这个词当前应该是什么词性就需要结合语境等因素，这就对模型提出很高的要求。二元HMM模型仅仅考虑前后词性之间的关系，这还不足以涵盖所有情况，因此无法解决所有歧义问题，所以最终模型会趋于平缓。
（3）为什么有些类型的预测错误，大语料的时候反而占比大于小语料的时候？
答：因为随着样本的增加，整体的错误率降低，但是有些类型的预测错误可能没有降低，所以在大语料时这种类型的预测错误占比反而提升。