概率论第四章习题中的一些结论
1.设随机变量 X 1 , X 2 , … , X n X_1,X_2,\dots,X_n X1,X2,…,Xn相互独立,且都服从 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)上的均匀分布，则
U = m a x { X 1 , X 2 , … , X n } U=max\{X_1,X_2,\dots,X_n\} U=max{X1,X2,…,Xn}的数学期望为
E ( U ) = n n + 1 E(U)=\frac{n}{n+1} E(U)=n+1n
V = m i n { X 1 , X 2 , … , X n } V=min\{X_1,X_2,\dots,X_n\} V=min{X1,X2,…,Xn}的数学期望为
E ( V ) = 1 n + 1 E(V)=\frac{1}{n+1} E(V)=n+11
2.设 X X X是随机变量, C C C是常数,对于 C ≠ E ( X ) C\not =E(X) C=E(X)有
D ( X ) < E [ ( X − C ) 2 ] D(X)
3.设随机变量 X X X服从瑞利分布,其概率密度为
f ( x ) = { x σ 2 e − x 2 2 σ 2 , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{x}{\sigma^2}e^{-\frac{x^2}{2\sigma^2}},x>0\\ &0,x\leq 0\\ \end{aligned}\right. f(x)=⎩⎨⎧σ2xe−2σ2x2,x>00,x≤0
其中 σ > 0 \sigma>0 σ>0是常数,则有
E ( X ) = π 2 σ E(X)=\sqrt{\frac{\pi}{2}}\sigma E(X)=2πσ
D ( X ) = 4 − π 2 σ 2 D(X)=\frac{4-\pi}{2}\sigma^2 D(X)=24−πσ2
4.设随机变量 X X X服从 Γ \Gamma Γ分布,其概率密度为
f ( x ) = { 1 β α Γ ( α ) x α − 1 e − x β , x > 0 0 , x ≤ 0 f(x)=\left\{\begin{aligned} &\frac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\frac{x}{\beta}},x>0\\ &0,x\leq 0\\ \end{aligned}\right. f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧βαΓ(α)1xα−1e−βx,x>00,x≤0
其中 α > 0 , β > 0 \alpha>0,\beta>0 α>0,β>0是常数,则有
E ( X ) = α β E(X)=\alpha\beta E(X)=αβ
D ( X ) = α β 2 D(X)=\alpha\beta^2 D(X)=αβ2
5.设随机变量 X X X服从几何分布,其概率密度为
P { X = k } = p ( 1 − p ) k − 1 , k = 1 , 2 , … , P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1},k=1,2,\dots, P{X=k}=p(1−p)k−1,k=1,2,…,
其中 0 < p < 1 0
E ( X ) = 1 p E(X)=\frac{1}{p} E(X)=p1
D ( X ) = 1 − p p 2 D(X)=\frac{1-p}{p^2} D(X)=p21−p
6.设随机变量 X ∼ N ( μ , σ 2 ) , Y ∼ N ( μ , σ 2 ) , X\sim N(\mu,\sigma^2),Y\sim N(\mu,\sigma^2), X∼N(μ,σ2),Y∼N(μ,σ2),且设 X , Y X,Y X,Y相互独立那么 Z 1 = α X + β Y Z_1=\alpha X+\beta Y Z1=αX+βY和 Z 2 = α X − β Y Z_2=\alpha X-\beta Y Z2=αX−βY相关系数
ρ z 1 z 2 = α 2 − β 2 α 2 + β 2 \rho_{z_1z_2}=\frac{\alpha^2-\beta^2}{\alpha^2+\beta^2} ρz1z2=α2+β2α2−β2
7.对于两个随机变量 V , W , V,W, V,W,若 E ( V 2 ) , E ( W 2 ) E(V^2),E(W^2) E(V2),E(W2)存在,则
[ E ( V W ) ] 2 ≤ E ( V 2 ) E ( W 2 ) [E(VW)]^2\leq E(V^2)E(W^2) [E(VW)]2≤E(V2)E(W2)