高斯混合模型和EM算法（JerryLead的读书笔记）

原文为Stanford的ML课程的讲义，notes7b。经JerryLead翻译，文章在混合高斯模型（Mixtures of Gaussians）和EM算法。翻译的不错，因此基本全文粘贴过来，对其中部分进行勘误和说明

与k-means一样，给定的训练样本是，我们将隐含类别标签用表示。与k-means的硬指定不同（说明：k-means硬规定是指认为隐含类别的分布为均分布），我们首先认为是满足一定的概率分布的，这里我们认为满足多项式分布，，其中，有k个值{1,…,k}可以选取。而且我们认为在给定后，满足多值高斯分布，即。由此可以得到联合分布。

整个模型简单描述为对于每个样例，我们先从k个类别中按多项式分布抽取一个，然后根据所对应的k个多值高斯分布中的一个生成样例，。整个过程称作混合高斯模型。注意的是这里的仍然是隐含随机变量。模型中还有三个变量和。最大似然估计为。对数化后如下：

 

     这个式子的最大值是不能通过前面使用的求导数为0的方法解决的，因为求的结果不是close form（即没上式没法求解出解析解）。但是假设我们知道了每个样例（的类别），那么上式可以简化为（极大似然函数有着更简单的表达形式）：

说明：这里并不是严格意义上的数学简化。由于已知每个案例的类别，那么对于其中对于第i个案例,其概率分布,只与当前的案例的类别有关（它的类别已知，被限定死了）。所以有：

由此可以看出，该简单的表达形式要求一定是已知每个案例的类别，所以作者在后面提到EM算法的时候提到，利用EM算的E步完成对类别的估计。

      这时候我们再来对和进行求导得到：

    就是样本类别中的比率。是类别为j的样本特征均值，是类别为j的样例的特征的协方差矩阵。实际上，当知道后，最大似然估计就近似于高斯判别分析模型（Gaussian discriminant analysis model）了。所不同的是GDA中类别y是伯努利分布，而这里的z是多项式分布，还有这里的每个样例都有不同的协方差矩阵，而GDA中认为只有一个。

     之前我们是假设给定了，实际上是不知道的。那么怎么办呢？考虑之前提到的EM的思想，第一步是猜测隐含类别变量z，第二步是更新其他参数，以获得最大的最大似然估计。用到这里就是：

循环下面步骤，直到收敛： {       （E步）对于每一个i和j，计算       （M步），更新参数：                    }

     在E步中，我们将其他参数看作常量，计算的后验概率，也就是估计隐含类别变量。估计好后，利用上面的公式重新计算其他参数，计算好后发现最大化最大似然估计时，值又不对了，需要重新计算，周而复始，直至收敛。

    的具体计算公式如下：

     这个式子利用了贝叶斯公式。

     这里我们使用代替了前面的，由简单的0/1值变成了概率值。

     对比K-means可以发现，这里使用了“软”指定，为每个样例分配的类别是有一定的概率的，同时计算量也变大了，每个样例i都要计算属于每一个类别j的概率。与K-means相同的是，结果仍然是局部最优解。对其他参数取不同的初始值进行多次计算不失为一种好方法。