Support Vector Machine有两个特色：
Hinge Loss
我们常见的Binary Classification如下图所示，其中的Loss Function中的
表示g(x)如果与Label y一样则输出0，不一样则输出1，所以损失函数变为：g在training set中总共犯了几次错。
但是Loss function是不可以微分的，所以第三步不能用gradient decent的方法做。所以我们不直接minimize这个loss function，而是改成minimize另一个近似的loss function：
而这个approximation function长什么样子，你可以自己决定，总体的思想是，当y=+1时，f(x)越大越好，y=-1时，f(x)越负越好，所以希望y*f(x)越大越好，二者同向的。如果横轴是y*f(x)，纵轴是loss的话，原则上是越往右，y*f(x)越大，loss就要越小。理想状态是假设y和f(x)是反向的，那么loss=1，反之同向的就是0，但是这个是没办法微分的：
现在做近似，把用l来取代，纵轴就是l的值，你可以选各种的function来当做l的function，比如用square loss，当y=1的时候loss越接近1越好，当y=-1的时候loss越接近-1越好:
你可以把它化成
，下图中的红线就是square loss的图：
但是这个square loss是不合理的，因为我们并不希望y*f(x)很大的时候有一个很大的loss，这跟我们上述的假设是不一致的。
另外一个是sigmoid+square Loss：
可以改写成这样：
函数图就是下列的蓝色的线：
另一种的function是Sigmoid + cross entropy（logistic regression中用的loss function）：
这个function是合理的，当y*f(x)趋近于正无穷大的时候，loss=0，当y*f(x)趋近于负无穷大的时候，loss=无穷大，它的函数图如下面的绿色线（function除以ln2之后的结果图）：
通过比较蓝色的线和绿色的线可以看出在logistic regression时为什么要用cross entropy而不是用square loss。假设y*f(x)从-2移动到-1的时候，sigmoid +square loss变化很少，而sigmoid + cross entropy变化很大，更容易training。
那hinge loss就是把function l写成：
y=1时，f(x)>1的时候完美状态loss=0，y=-1时，f(x)<-1的时候完美状态loss=0，对于positive的例子来说，f(x)>1表示完美的case，对于negative的例子来说，f(x)<-1表示完美的case。f(x)的值不用太大，只要大过1就好，不用太小，只要小过-1就好。
它的图是下面紫色的线，在y*f(x)>1的这段上就已经够好了，loss就是0再大也不会更好了，但是y*f(x)在0-1这段，虽然二者同号，在step1上已经可以得到正确答案，但是hinge loss觉得还不够好，要比正确答案好过一段距离，没有大于1的时候还是有penatly，促使machine使得y*f(x)>1：
hinge loss和sigmoid+cross entropy都是ideal loss的一个up bound，所以我们可以minimize hinge loss 就可以得到minimize ideal function的效果。
比较hinge-loss和sigmoid+cross entropy，会发现二者的区别就是对待已经做得好的example的态度，将y*f(x)从1改到2，对cross entropy来讲你可以得到loss的下降，所以cross entropy想要好还要更好，它有动机让y*f(x)变得更大。但是对于hinge loss来讲，它是一个及格就好的function，只要你的值大过1就结束了，不会想做的更好。在实际中，二者的效果并没有什么显著的差别，但是hinge loss是比较鲁棒的
Linear SVM
function是linear的，组合得到新的w和x：
它的loss function是hinge loss，通常还会加一个regularization，这个loss function是convex function，作gradient decent就会很简单了，不管你从哪个地方初始化，最后的结果都会是一样的。但是可能在某些点是不可微分的，这并不是什么大问题，都可以用gradient decent来做。
和logistic regression相比，linear SVM只是有不同的loss function，前者用的是cross entropy后者用的是hinge loss。而且step1中的function不一定是要linear的，在做Deep Learning的时候不是用cross entropy作为minimize的对象，而是用hinge loss的话就是一个deep的svm
接下来的问题就是怎么用gradient decent来learn SVM呢？
Linear SVM——gradient descent
已知loss function是hinge loss了，那么对它的微分如下：
其中f(x)是x和w的乘积，所以它的微分如下：
l对f(x)的微分，分为两部分，主要depend on当前的weight是多少：
所以最后可以写成：
其中的c(w)depend on你现在的参数是什么。
最后在update参数的时候，直接用wi减去微分之后的值就好：
所以SVM是可以用gradient decent来解的。所以你是要写linear的SVM的话，可以用keras很快的写出来。
可能上述的SVM与你平常看到的SVM是长得不一样的，下面会讲另一种形式
Linear SVM ——another formulation
平常见到的SVM，它的loss function用一个
来代替，而且
：
其中的可以有另一种写法，它取0和1-y*f(x)中较大的那个，那就是说
，单独看
的话，这两个式子是不一样的：
但是加上上面的minimize loss function的话，两个式子表达的意义是一摸一样的：
因为要取一个最小的使得L最小，在第二个式子中，因为它同时大于0，大于1-y*f(x)，所以它就要等于0和1-y*f(x)中比较打的那个，所以也就是说
。所以二者的意义是相同的，所以第一个式子可以转化成第二个式子。
那这就转化成了我们比较常见的SVM了，也就是y*f(x)要是同号的，相乘之后要大于等于一个margin 1，但是这个margin是soft的，可以把margin稍微放宽变成
，而且这个slack variable绝对不能是负的，因为这不符合他的目的，这样会把margin变大了，所以它必须>=0.
那把这些事情合起来之后，你会有一个要minimize的对象，和一堆constrain（约束），这是一个quadratic programming（二次规划）的问题，你可以带入一个quadratic programming solver去解，但是你也可以用前面所说的gradient decent来解
Kernel Method
Dual Representation
实际上，我们最后找出来的weight w*是training data的Linear combination：
这个的证明可以用拉格朗日来解，这里用另外一个角度来讲。
刚才我们已经知道了用gradient descent来解之后update weight用的式子是这样的：
这就意味着，假设我们把weight初始化成0，那每次在update w的时候，都是加上data point的linear combination。所以最后的结果得到的w就是x的linear combination。
其中c(w)是l对f(x)的偏微分，如果用的hinge loss function，c(w)往往是0 ，也就是并不是所有的xn都会被拿来加到w里去。所以最后解出来的w*它的linear combination的weight a可能是sparse的，可能有很多的data point 对应的a等于0，而那些对应的a不等于0的xn 它就是support vectors：
如果a等于0，那这个的x就对这个model一点作用也没有，没有影响力。如果a不等于0，那这个x会决定最后的parameter w长什么样子，而这些可以决定最后的parameter长什么样子的data point就叫做support vector。只有少数的data point会被选作support vector。所以SVM是比较鲁棒的，如果你选用的loss function是logistic regression中的cross entropy，它就没有sparse的这个特性，它在每个地方的微分都是不等于0的，所以你解出来的a就不是sparse的，如果用hinge loss解出来的就是sparse的，解出来是sparse的就是说，那些不是support vector的data point，你把它从data base中remove掉，对结果是一点影响也没有的。如果今天有一个奇怪的outlier，那你不要把它选作support vector，那它不会影响结果，不像其他的方法如logistic regression每笔data都会有影响：
已知w是data point的linear combination：
我们可以改一下function的样子：
x是一个vector，x要与每个xi做内积，再分别乘上ai：
并不会所有的xn都做内积，只用考虑a不等于0的vector就好了。我们把x与xn做内积写成function K，叫做kernel function：
所以现在step1可以写成：
那step2,3中未知的参数只剩下a了，所以现在的问题转化成了找一组最好的an，使得loss function最小：
而loss function的输入有两个，一个是f(x)一个是yn，而我们现在知道f(x)是an和K的函数：
从上述的式子可以看出，an是要求的值，yn是已知的Label，那只要知道K的值就可以了。所以我们只需要知道kernel function就可以做所有的optimization（优化）。所以我们并不需要知道x，xn长什么样子，只要知道他们的内积就可以结束了，这个叫做kernel trick，：
Kernel Trick并不仅限于SVM，这种内积的做法同样适用于linear regression和logistic regression,可以有Kernel based的linear regression和Kernel based的logistic regression。
Kernel Trick
对于linear model，它可能会有很多限制，你需要对input的data做一些transform，再用linear model来处理，在神经网络中，经常用几层hidden layer来进行transform。
假设我们现在有二维的data x，将它进行feature transform之后再apply linear model：
然后想算K(x,z)的时候，也就是x和z在进行完transform之后的inner product的值，最简单的可以这么算：
但是继续简化之后会发现，先进行transform再进行内积，和先进行内积再平方的结果是一样的：
这样给我们启示是，有时直接计算K(x,z)会比先计算transform再计算内积要快的多。
举例来说，x和z都是k维的，要把它投影到更高维的平面，考虑所有的feature两两之间的关系：
如果你用Kernel Trick的话，你能轻易的把transform之后的x和z的内积求出来，只用求k个element的相乘再求平方就好了：
但是如果你先把它project到高维上再做内积的话，dimension会很大，feature会很长，运算量很大：
将展开式中的x和z分离开就得到了transform之后的x和z。
Radial Basis Function Kernel（RBF Kernel）径向基函数
现在K定义如下，x，z距离乘上-1/2再取exp：
这个函数用来x和z之间的相似度，如果x和z越像Kernel的值就越大，如果二者相同则是1，完全不同则是0。
其实这个式子也可以化成两个high dimension的vector做inner product的结果。而这两个vector是有无穷多维的：
所以本来你要把一个xproject到无穷多维再去做project是做不到的，但是如果你直接算x和z的距离，再乘以-1/2，再去exp，你就等同于在一个无穷多维的空间里做内积。那这个空间长什么样子呢？上面的式子可以展开成下面的式子：
将x和z 的vector串起来，都会有一个无穷长的vector，然后将二者做内积，得到的结果就是Kernel给出的结果。
当你使用RBF Kernel的时候，你就是在无穷多维的平面上去操作，这样是很容易overfitting的。
Sigmoid Kernel
它的Kernel函数如下，它也是将x和z transform到高维上之后做内积的结果：
当我们在之前的f(x)中用sigmoid kernel的时候，得到如下的式子：
如果我们用的是sigmoid kernel，那可以把它想做是只有一个hidden layer的neuron network：
既然有了这个Kernel Trick之后，我们可以直接设计Kernel Function，完全不用理会x和z的feature长什么样子，只要有一个Kernel Function把x和z带进去得到一个value，这个value代表了z和x在某个高维平面上的product，你根本就不需要在意x和z的vector长什么样子。
那这招什么时候有用呢？假设你的x是有structure的data，比如说是一个sequence，而且它的长度都不一样，并不容易把一个sequence表示成一个vector。但是可以直接定义它的Kernel Function，已知Kernel Function就是投影到高维上的inner product，往往就是一个类似于similarity的东西，所以你如果能定义一个评估x和zsimilarity的Function，就算x和z是有structure的object也是没有关系的。只要你能算二者之间的similarity，你就可能把这个similarity当做Kernel来使用。
但是如果胡乱定义一个similarity，它背后有feature vector来support它吗？Kernel其实是两个vector做inner product的结果，那你胡乱定义一个Function它可以拆成两个vector的inner product的结果吗？并不是所有的Function都可以，但是有一个叫做Mercer's theory可以去进行检查，得知哪些Function是可以的。
在语音上，假设你要做分类的对象是Audio Segment，一段声音讯号会用一段vector sequence来描述它，每段声音讯号长度是不一样的，所以它的vector sequence也是可能都不一样。现在给你的声音讯号让你区分语者的情绪，可能有高兴，失望等10类。
一段声音讯号你没办法用一个vector来直接描述它，可以直接定它的Kernel，就不管声音变成一个vector之后长什么样子了，直接定义K(x,z)，x和z带进去后，这个Function的output应该是什么。定好之后就可以直接用Kernel Trick apply SVM，而不用管vector长什么样子了。
SVM related methods
SVM做regression就是support vector regression。它的思想是：以前的是希望output和target越接近越好，但是在SVR中是说output在target的某一个距离里面loss就是0,。
Ranking SVM常常被用在当你要考虑的对象是一个排序一个list的时候。
one-class SVM，它是希望属于positive的归为一类，属于negative的散布在其他地方
Deep Learning vs SVM
DL的前几个layer可以看做layer transform，最后一个layer可以看做linear classifier。
SVM前面先apply一个Kernel Function把你的feature转到一个高维的空间中，然后在high dimension上面apply linear classifier（一般都用hinge loss）。
SVM的Kernel是learnable的，但是并不像DL那样learn的那么多，你可以做的是好几个不同的Kernel，把它们combine起来，他们之间的weight是可以learn的。
