提高篇-图论-《算法笔记》同步笔记总结与补充

专题要点：

• 点权和边权：顶点和边均可具有权值，根据题意判断。邻接矩阵：边的权值可以存入矩阵中，点的权值需要另存储在一位数组中；邻接表：点权边权都可以用结构体存储
• 图的遍历dfs,bfs：
  • 遍历时，要对所有顶点进行搜索，防止出现图不连通的情况。
  • 搜索的次数即为图中连通块的个数
• 最短路径问题：求源点到其他顶点的最短距离
  传送门：提高篇-最短路径问题（图论）-《算法笔记》同步笔记总结与补充
  • Dijkstra算法：解决无负环的单源最短路问题
  • Bellman-Ford算法：解决一般（含负环）的单源最短路问题
  • SPFA算法：优化Bellman-Ford算法
  • Floyd算法：解决全源最短路问题
  • 暴力Dijkstra算法：解决全源最短路问题（对每个顶点做Dijkstra算法）
• 最小生成树问题：在无向图G中求出一棵包含G所有顶点和部分边（边权之和最小）的树型结构
  • Prim算法：思想类似Dijkstra，解决稠密图
  • Kruskal算法：解决稀疏图
• 拓扑排序：图结构（其为AOV图，DAG）中具有明确前后顺序的顶点的序列
  • 入度是拓扑排序的关键：顶点入度为0，说明当前顶点是其他顶点的先导，排在其他顶点前
  • 方法思想：输出入度为0的顶点，并不断调整与其相连其他顶点的入度
• AOE与关键路径:同为DAG有向无环图。相比于编程方法，这一节的概念内容容易理解的多（编程方法要绕晕了）
  • 明确“事件”与“活动”：“活动：是指确确实实的行为，动作；事件：在AOE中并不是做了一件事情，而是说明一种状态（中介状态），即完成活动后，达到可以做下一件事情的状态，这才是事件的含义。
  • 理解“最长”与“最短”：“关键路径是AOE中的最长路径，其长度却也是整个整个工程的最短完成时间。”
    *最长：是从距离上讲的长短，路径长度最长；最短：是从时间上讲的早晚，项目结束的最早。既然关键路径不能拖延，则必然使项目结束最早

算法比较：

• Dijkstra算法：贪心法，对其他顶点与源点之间最短距离的贪心
• Floyd算法：O(N³)，计算量小于暴力Dijkstra算法
• 暴力Dijkstra算法：O(N³)
• Prim算法：贪心法，类似Dijkstra，对其他顶点与已访问过的顶点集合S之间最短距离的贪心
• Kruskal算法：贪心法，对边权值（最小）贪心，使用并查集

可解问题：

在解图论有关题目时，一道题会涉及多种数据结构，多个数据存储容器或变量，需要做好注释，明确命名规范

• 图的遍历：根据搜索次数计算图中连通块的个数
  PAT甲组1021 Deepest Root思路与注意点–补充《算法笔记》
• 最短路径问题：第一标尺选择最短路径，第二标尺选择花费小（边权），物资多（点权），平均值大（点权计算）等诸多实际问题
  全网最全！PAT甲组1003.Emergency (优先队列实现迪杰斯特拉算法，Bellman算法，SPFA)思路与注意点–补充《算法笔记》
  PAT甲组1072.Gas Station思路与注意点–补充《算法笔记》
  PAT甲组1018.Public Bike Management思路与注意点–补充《算法笔记》
• 最小生成树问题：解决所有节点全部连通且代价最小的问题
• 拓扑排序：解决需要访问某个结点时，其前驱结点都已访问过
• AOE：关键路径，工程最早结束时间

几点注意：

• 首先要注意图中点和边虽然不同，却又息息相关：如点权边权，和删除点或删除边
• 遍历过程中需要删除边时：可以将权值改为0，-1等表示不存在的数值
• 遍历过程中需要删除点时：可以将与点有关的边全部修改为不存在，或是不必真的删除点，而是当访问到该点时跳过即可。
• 连通块个数：实际上就是集合个数，类比并查集；且对一个图进行搜索的次数即为该图的连通块个数
• 广搜：遍历时注意inq[]的标记位置，防止重复访问
• Kruskal是对边进行遍历的，因此边越少效率越高，即稀疏图
• 明确Prim与Dijkstra算法的区别：见上文算法比较