算法设计练习题（1）——分治法

• 1、 给定一个数组A，任务是设计一个算法求得数组中的“主元素”，即在数组中个数超过数组总元素个数一半的元素。但是数组中元素的数据类型可能是复杂类型，这意味着数组中的元素进能够比较是否相等而不存在序关系，设对于两个元素A[i]和A[j]，判定是否A[i]=A[j]需要常数时间。
  (1) 设计一个时间复杂性为O(n log n)的算法解此问题
  (2) 设计一个时间复杂性为O(n)的算法解此问题.

（1）分治法：
算法:
1、如果A中只有一个元素，则该元素为主元素。否则，将数组A分为两部分A[i....mid]，A[mid+1........A.length],分别求主元素p，q，则A的主元素一定为p或q中的一个
2、遍历数组A，求出与p，q相等的元素个数，如果>A.length/2,则为主元素。
T(n) = 1     n==1;
T(n) = 2T(n/2)+O(n)
得T(n) = O(nlogn)

（2）算法：
数列排序后位于最中间的那个数。如果一个数列有主元素,那么必然是其中位数。
求一个数列有没有主元素，只要看中位数是不是主元素。
找中位数的方法:
选择一个元素作为划分起点，然后用快速排序的方法将小于它的移动到左边，大于它的移动到右边。
这样就将元素划分为两个部分。
此时，划分元素所在位置为k。
如果k>n/2，那么继续用同样的方法在左边部分找；
如果k n/2
        then print "主元素:" +median + "出现次数:" + cnt
        else print "无主元素"

• 2、对于给定的n个元素的数组A[1…n],要求从中找出第k小的元素。请设计分治算法解决这个问题，要求算法的平均时间复杂度是O(n)。答案要求包含以下内容：（1）用简明的自然语言表述算法的基本思想；（2）用伪代码描述算法；（3）分析算法的时间复杂度。

注意是平均时间复杂度E(T(n))

算法：
1、取第一个元素为a，遍历剩下元素，将>=a的元素添加到序列Big[]中，k,则求Small[]中的第k小的元素。
伪代码：
Search(A)
Input :String[m....n],k
Output:A[m...n]中的第K小的元素
a = A[1]
for i = 2 to n
	if A[i] >= a then
		add A[i] to Big[]
	else
		add A[i] to Small[]
if Small.length == k then
	Output a
	END
else if Small.length < k then
	Search(Small[],k)
else
	Search(Big[],k-1-Small.length)

该算法最坏复杂度为O(n²),平均复杂度纠结如下：

• 3、给定实数数组A[1:n]，试设计一个分治算法找出其中的最小元素和最大元素，使得比较操作的总次数严格小于2(n-1)。答案要求包含以下内容：（1）用简明的自然语言表述算法的基本思想；（2）用伪代码描述算法；（3）分析算法的时间复杂度。

(1)算法：
求A[1...n]的max and min 即求A[1...mid]和A[mid+1....n]的最大值和最小值，再比较后得到
(2)伪代码：
MAXMIN(A)
Input:A[i..j]
Output:max,min
if j-i+1 == 1 then  Output A[i],A[i];END
if j-i+1 == 2 then
	if A[i]2
       =2+2(2+2T(n/4))
       ......
       =2+2^1+2^2+.....+2^i+2^iT(n/2^i)
       且此时n/2^i == 2
       =3n/2-2 < 2(n-1)

• 4、有长度为N的数组A、B，每个数组中存储的浮点数已经升序排列。设计一个O(logn)时间的分治算法，找出这2n个数的中位数。证明算法的正确性。

1、如果n==1，则mid = (A[0]+B[0])/2
2、如果n>1,对A求中位数midA，对B求中位数midB
	如果midA  == midB，则最终的中位数为midA；
	如果midA < midB, 则求A[ceil(n/2)....n]和B[1...ceil(n/2)]这两个数组的中位数T(n+1)
	如果midA > midB,则求A[1...ceil(n/2)]和B[ceil(n/2)...n]这两个数组的中位数
递归方程：
T(2n) = 1   n==1;
T(2n) = T(n+1) +1   n>1

下面证T(n) = O(logn)

T(1)满足，设 m < 2n 时满足T(m) = O(logm),对 m = n+1,也满足
∴ T(n+1) <= clog(n+1)
∴ T(2n) <= clog(n+1) +1
		<= clog(2n/(4/3)) +1  = clog(2n) -clog(4/3)+1
		当-clog(4/3)+1 <= 0 时
		<= clog(2n)
由数学归纳法，T(n) = o(logn)

• 5、设计分治算法求解下述问题：
  输入：一个一维整数数组A(其中元素可能是正数也可能是负数)
  输出：A的连续子数组，要求其和最大
  例如，输入数组是{-2, -5, 6, -2, -3, 1, 5, -6}，其结果是{6, -2, -3, 1, 5},其和为7
  要求: (1) 算法时间复杂度为O(nlogn)；(2) 写出算法伪代码；(3) 分析算法时间复杂度

（1）算法：
分治法，计算A[1...mid]的最大连续子数组A1[]，再计算A[mid+1....n]的最大连续子数组A2[]。
  然后计算包含A[mid]和A[mid+1]的最大子数组，即找到形如A[i......mid]和A[mid+1...j]的最大连续数组，再将其合并
  (2)伪代码：
  FIND-CROSS-MAX(A,low,high,mid)
  left-sum = -∞
  sum = 0
  for i = mid downto low
  	sum = sum +A[i]
  	if sum > left-sum then
  		left-sum = sum
  		left-max = i
 right-sum = -∞
 sum = 0
 for i = mid+1 to high 
 	sum = sum + A[i]
 	if sum > right-sum then
 		right-sum = sum
 		right-max = i
 return  left-max,right-max,left-sum + right-sum
 
FIND-MAX(A,low,high)
if high == low then
	return(low,high,A[low]) 
mid = (high - low +1 ) / 2
(left-low,left-high,left-sum) = FIND-MAX(A,low,mid)
(right-low,right-high,right-sum) = FIND-MAX(A,mid+1,high)
(mid-low,mid-high,mid-sum) = FIND-CROSS-MAX(A,low,hign,mid)
max-sum = MAX(left-sum,right-sum,mid-sum)
if max-sum == left-sum then  return(left-low,left-high,left-sum)
if max-sum == mid-sum then return(mid-low,mid-high,mid-sum)
if max-sum == right-sum then return(right-low,right-high,right-sum)

递归方程：
T(n) = 1    n==1
T(n) = 2T(n/2) + O(n)
由master定理
T(n) = O(nlogn) 

• 6、阅读https://oi-wiki.org/math/quick-pow/学习基于分治思想的“快速幂”算法。设计一个通过矩阵运算，在O(logN)时间内计算斐波那契数列第N项的算法。
  $$\left[\begin{array}{c}F(n)\\ F(n-1)\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(1)}$$
  = A*
  $$\left[\begin{array}{c}F(n-1)\\ F(n-2)\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(2)}$$
  A =
  $$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]\text{\hspace{1em}(3)}$$
  所以依次递归到F(2),F(1)
  共有n-2个矩阵A相乘，A^n-2
  根据快速幂运算 ：如果n-2是偶数，A^n-2=A^n-2/2 * A^n-2/2
  如果n-2是奇数， = A^n-3/2 *A^n-3/2+1
  T(n) =T(n/2) = O(logn)
• 7 、设计一个“三路归并”的排序算法，并分析它的时间复杂性。

每3个一组，共n/3组，每组比较3次。
类比二路归并。
即3叉树倒过来。
	T（n） = 0    n==1
	T（n） = 1     n==2
	T（n） = 3    n ==3
	T（n） = 3T(n/3) + O(n) -------最后一层
	T(n) = O(nlogn) 

• 8、 逆序对数求解：有长度为N的浮点数组A，元素分别为a1, a2, …, aN。如果满足iaj，则(ai, aj)构成一个逆序对。设计分治方法求解数组A的逆序对个数，并分析算法的时间复杂性。

将数组分成两组，
前一半A[1:n/2]，后一半A[n/2+1:n]分别求逆序对；
然后找前一半和后一半组成的逆序对。
在每次找逆序对时，将元素大小排序，得到新的B[1:n/2]，C[1:n/2+1]
每次分别取前一半，后一半最小值B【1】，C【1】.
如果B【1】C【1】，则取C的下一个数C【2】和B【1】进行比较，以此类推。
T（n）= O(1),n=1,2
T（n）= 	2T（n/2）+O(n)
T(n)=O(nlogn)