cccc L2-018. 多项式A除以B

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【转自   Daemoonn   】

直接看到这题，我是没看懂的。然后就放哪里，没有写。后来看了多项式除法的一个视频，（网易公开课里面的）才会多项式除法。然后发现Daemoonn 写的比较清楚，好记。 拿来做模板吧。

计算

{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}.}

把被除式、除式按某个字母作降幂排列，并把所缺的项用零补齐，写成以下这种形式：

{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}+0x-42}{x-3}}.}

然后商和余数可以这样计算：

1. 将分子的第一项除以分母的最高次项（即次数最高的项，此处为x）。结果写在横线之上(x³ ÷ x = x²).

   {\displaystyle {

   x2x−3)x3−12x2+0x−42¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯

   }}

2. 将分母乘以刚得到结果（最终商的第一项），乘积写在分子前两项之下（同类项对齐） (x² · (x − 3) = x³ − 3x²).

   {\displaystyle {

   x2x−3)x3−12x2+0x−42¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯x3−3x2

   }}

3. 从分子的相应项中减去刚得到的乘积（消去相等项，把不相等的项结合起来），结果写在下面。((x³ − 12x²) − (x³ − 3x²) = −12x² + 3x² = −9x²)然后，将分子的下一项“拿下来”。

   {\displaystyle {

   x2x−3)x3−12x2+0x−42¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯x3−3x2−−−−−−−−9x2+0x

   }}

4. 把减得的差当作新的被除式，重复前三步（直到余式为零或余式的次数低于除式的次数时为止．被除式=除式×商式+余式 ）

   {\displaystyle {

   x2−9xx−3)x3−12x2+0x−42¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯x3−3x2−−−−−−−−−−9x2+0x−9x2+27x−−−−−−−−−−27x−42

   }}

5. 重复第四步。这次没什么可以“拿下来”了。

   {\displaystyle {

   x2−9x−27x−3)x3−12x2+0x−42¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯x3−3x2−−−−−−−−−−9x2+0x−9x2+27x−−−−−−−−−−27x−42−27x+81−−−−−−−−−−123

   }}

横线之上的多项式即为商，而剩下的 (−123) 就是余数。

{\displaystyle {\frac {x^{3}-12x^{2}-42}{x-3}}=\underbrace {x^{2}-9x-27} _{q(x)}\underbrace {-{\frac {123}{x-3}}} _{r(x)/g(x)}}

算数的长除法可以看做以上算法的一个特殊情形，即所有 x 被替换为10的情形。

除法变换[编辑]

使用多项式长除法可以将一个多项式写成 除数-商 的形式（经常很有用）。 考虑多项式 P(x), D(x) （(D)的次数 < (P)的次数）。 然后，对某个商多项式 Q(x) 和余数多项式 R(x) （(R)的系数 < (D)的系数），

{\displaystyle {\frac {P(x)}{D(x)}}=Q(x)+{\frac {R(x)}{D(x)}}\implies P(x)=D(x)Q(x)+R(x).}

这种变换叫做除法变换，是从算数等式 {\displaystyle {\mathrm {dividend} =\mathrm {divisor} \times \mathrm {quotient} +\mathrm {remainder} }}.^[1] 得到的。

应用[编辑]

多项式的因式分解[编辑]

有时某个多项式的一或多个根已知，可能是使用有理数根定理得到的。如果一个{\displaystyle n}次多项式 {\displaystyle P(x)}的一个根{\displaystyle r}已知，那么{\displaystyle P(x)} 可以使用多项式长除法因式分解为{\displaystyle (x-r)Q(x)}的形式，其中{\displaystyle Q(x)}是一个{\displaystyle n-1}次的多项式。简单来说，{\displaystyle Q(x)}就是长除法的商，而又知{\displaystyle r}是{\displaystyle P(x)}的一个根、余式必定为零。

相似地，如果不止一个根是已知的，比如已知{\displaystyle r}和{\displaystyle s}这两个，那么可以先从{\displaystyle P(x)}中除掉线性因子{\displaystyle x-r}得到{\displaystyle Q(x)}，再从{\displaystyle Q(x)}中除掉 {\displaystyle x-s}，以此类推。或者可以一次性地除掉二次因子{\displaystyle x^{2}-(r+s)x+rs}。

使用这种方法，有时超过四次的多项式的所有根都可以求得，虽然这并不总是可能的。例如，如果有理数根定理可以用来求得一个五次方程的一个（比例）根，它就可以被除掉以得到一个四次商式；然后使用四次方程求根的显式公式求得剩余的根。

寻找多项式的切线[编辑]

多项式长除法可以用来在给定点上查找给定多项式的切线方程。^[2] 如果 R(x) 是 P(x)/(x-r)² 的余式——也即，除以 x²-2rx+r²——那么在 x=r 处 P(x) 的切线方程是 y=R(x)，不论 r 是否是 P(x) 的根。

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