数据缩放方法总结

 

一、标准化（Z-Score），或者去除均值和方差缩放

标准分数（standard score）也叫z分数（z-score）,是一个分数与平均数的差再除以标准差的过程。用公式表示为：z=(x-μ)/σ。其中x为某一具体分数,μ为平均数，σ为标准差。

Z值的量代表着原始分数和母体平均值之间的距离，是以标准差为单位计算。在原始分数低于平均值时Z则为负数，反之则为正数。

标准分数的作用和特点:
标准分数可以回答这样一个问题："一个给定分数距离平均数多少个标准差?"在平均数之上的分数会得到一个正的标准分数，在平均数之下的分数会得到一个负的标准分数。

标准分数是一种可以看出某分数在分布中相对位置的方法。标准分数能够真实的反应一个分数距离平均数的相对标准距离。如果我们把每一个分数都转换成标准分数，那么每一个标准分数会以标准差为单位表示一个具体分数到平均数的距离或离差。将成正态分布的数据中的原始分数转换为标准分数，我们就可以通过查阅标准分数在正态曲线下面积的表格来得知平均数与标准分数之间的面积，进而得知原始分数在数据集合中的百分等级。[1]


一个数列的各标准分数的平方和等于该数列数据的个数，并且标准分数的标准差和方差都为1。

例如：某中学高（1）班期末考试，已知语文期末考试的全班平均分为73分，标准差为7分，甲得了78分；数学期末考试的全班平均分为80分，标准差为6.5分，甲得了83分。甲哪一门考试成绩比较好？


因为两科期末考试的标准差不同，因此不能用原始分数直接比较。需要将原始分数转换成标准分数，然后进行比较。


Z(语文)=(78-73)/7=0.71 Z(数学)=(83-80)/6.5=0.46 　甲的语文成绩在其整体分布中位于平均分之上0.71个标准差的地位，他的数学成绩在其整体分布中位于平均分之上0.46个标准差的地位。由此可见，甲的语文期末考试成绩优于数学期末考试成绩。

由于标准分数不仅能表明原始分数在分布中的地位，它还是以标准差为单位的等距量表，故经过把原始分数转化为标准分数，可以在不同分布的各原始分数之间进行比较。

 

特点：

（1）样本平均值为0，方差为1；

（2）区间不确定，处理后各指标的最大值、最小值不相同；

（3）对于指标值恒定的情况不适用；
（4）对于要求标准化后数据 大于0 的评价方法（如几何加权平均法）不适用。

 

实现时，有两种不同的方式：

• 使用sklearn.preprocessing.scale()函数，可以直接将给定数据进行标准化。

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>>> from sklearn import preprocessing >>> import numpy as np >>> X = np.array([[ 1., -1.,  2.], ...               [ 2.,  0.,  0.], ...               [ 0.,  1., -1.]]) >>> X_scaled = preprocessing.scale(X)   >>> X_scaled                                          array([[ 0.  ..., -1.22...,  1.33...],        [ 1.22...,  0.  ..., -0.26...],        [-1.22...,  1.22..., -1.06...]])   >>>#处理后数据的均值和方差 >>> X_scaled.mean(axis=0) array([ 0.,  0.,  0.])   >>> X_scaled.std(axis=0) array([ 1.,  1.,  1.])

• 使用sklearn.preprocessing.StandardScaler类，使用该方法的好处在于可以保存训练集中的参数（均值、方差）直接使用其对象转换测试集数据。

• 仔细阅读官方文档发现，fit方法是用于从一个训练集中学习模型参数，其中就包括了归一化时用到的均值，标准偏差。fit_transform()就很高效的将模型训练和转化合并到一起，训练样本先做fit，得到mean，standard deviation，然后将这些参数用于transform（归一化训练数据），使得到的训练数据是归一化的，而测试数据只需要在原先得到的mean，std上来做归一化就行了，所以用transform就行了。

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>>> scaler = preprocessing.StandardScaler().fit(X)#fit 是提取员训练数据中的统计特征（均值、标准差）       >>>scaler StandardScaler(copy=True, with_mean=True, with_std=True)   >>> scaler.mean_                                      array([ 1. ...,  0. ...,  0.33...])   >>> scaler.std_                                       array([ 0.81...,  0.81...,  1.24...])   >>> scaler.transform(X)                               array([[ 0.  ..., -1.22...,  1.33...],        [ 1.22...,  0.  ..., -0.26...],        [-1.22...,  1.22..., -1.06...]])     >>>#可以直接使用训练集对测试集数据进行转换 >>> scaler.transform([[-1.,  1., 0.]])                array([[-2.44...,  1.22..., -0.26...]])

 

二、将属性缩放到一个指定范围

除了上述介绍的方法之外，另一种常用的方法是将属性缩放到一个指定的最大和最小值（通常是1-0）之间，这可以通过preprocessing.MinMaxScaler类实现。

使用这种方法的目的包括：

1、对于方差非常小的属性可以增强其稳定性。

2、维持稀疏矩阵中为0的条目。

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>>> X_train = np.array([[ 1., -1.,  2.], ...                     [ 2.,  0.,  0.], ...                     [ 0.,  1., -1.]]) ... >>> min_max_scaler = preprocessing.MinMaxScaler() >>> X_train_minmax = min_max_scaler.fit_transform(X_train) >>> X_train_minmax array([[ 0.5       ,  0.        ,  1.        ],        [ 1.        ,  0.5       ,  0.33333333],        [ 0.        ,  1.        ,  0.        ]])   >>> #将相同的缩放应用到测试集数据中 >>> X_test = np.array([[ -3., -1.,  4.]]) >>> X_test_minmax = min_max_scaler.transform(X_test) >>> X_test_minmax array([[-1.5       ,  0.        ,  1.66666667]])     >>> #缩放因子等属性 >>> min_max_scaler.scale_                             array([ 0.5       ,  0.5       ,  0.33...])   >>> min_max_scaler.min_                               array([ 0.        ,  0.5       ,  0.33...])

当然，在构造类对象的时候也可以直接指定最大最小值的范围：feature_range=(min, max)，此时应用的公式变为：

 

X_std=(X-X.min(axis=0))/(X.max(axis=0)-X.min(axis=0))

X_scaled=X_std/(max-min)+min

 

三、正则化（Normalization）

正则化的过程是将每个样本缩放到单位范数（每个样本的范数为1），如果后面要使用如二次型（点积）或者其它核方法计算两个样本之间的相似性这个方法会很有用。

Normalization主要思想是对每个样本计算其p-范数，然后对该样本中每个元素除以该范数，这样处理的结果是使得每个处理后样本的p-范数（l1-norm,l2-norm）等于1。

             p-范数的计算公式：||X||p=(|x1|^p+|x2|^p+...+|xn|^p)^1/p

该方法主要应用于文本分类和聚类中。例如，对于两个TF-IDF向量的l2-norm进行点积，就可以得到这两个向量的余弦相似性。

1、可以使用preprocessing.normalize()函数对指定数据进行转换：

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>>> X = [[ 1., -1.,  2.], ...      [ 2.,  0.,  0.], ...      [ 0.,  1., -1.]] >>> X_normalized = preprocessing.normalize(X, norm='l2')   >>> X_normalized                                      array([[ 0.40..., -0.40...,  0.81...],        [ 1.  ...,  0.  ...,  0.  ...],        [ 0.  ...,  0.70..., -0.70...]])

 

2、可以使用processing.Normalizer()类实现对训练集和测试集的拟合和转换：

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>>> normalizer = preprocessing.Normalizer().fit(X)  # fit does nothing >>> normalizer Normalizer(copy=True, norm='l2')   >>> >>> normalizer.transform(X)                            array([[ 0.40..., -0.40...,  0.81...],        [ 1.  ...,  0.  ...,  0.  ...],        [ 0.  ...,  0.70..., -0.70...]])   >>> normalizer.transform([[-1.,  1., 0.]])             array([[-0.70...,  0.70...,  0.  ...]])

 

补充：

本文内容参考标准化（Z-Score），或者去除均值和方差缩放

和Z-SCORE