滞后超前型低通滤波器

最近在读远坂俊昭的《锁相环电路设计与应用》，上面提到了这种具有相位补偿能力的低通滤波器。书上对这种滤波器的特性描述的非常细致，但是却省略了所有公式的推导过程。作者不屑写出，我来把它补全吧。

滞后超前型滤波器的基本电路如下：

图表 1 滞后超前型滤波器的基本电路

列写电路方程，可以得到滤波器的传递函数如下：

从传递函数来看，分子相当于一个一阶高通滤波器，截止频率我们记为fL。分母可以认为是一个二阶低通滤波器，或者认为是两个一阶低通滤波器串联。两个一阶低通滤波器的截止频率我们分别记为fc 和 fH。求出这三个特征频率我们就能较精确的画出整个滤波器的幅频特性了。

对于我们的滤波器，R1>R2，C1>C2。因此，在低频段，C2 的作用可以忽略。这时电路可以简化为：

图表 2 低频简化电路

传递函数简化为：

 

可以看出，分子、分母都为s的一次多项式。分子、分母及整个传递函数的频响特性如下图3所示。

图表 3 幅度特性                         相位特性

 

分母、分子决定了滤波器的第一个截止频率和转折频率：

高频段的衰减量M 由fL/fC 来决定：

 

由上面的讨论可知，转折频率 fL 由分子多项式决定。对于我们的滞后超前型低通滤波器也同样，所以：

第一截止频率fc 可以根据前面的低频等效电路来求。也可以直接利用C1>C2的关系，将传递函数中的C2略去。第二截止频率fH求起来困难一些，首先高频时C1 可以认为是短路的，这时电路简化为。

传递函数简化为：

上面式子中 fH 的第二步近似利用了 R1>R2。至此，三个特征频率就都计算出来了。整个滤波器的幅频特性如图4所示。

图表 4 滤波器的幅频特性

至于相位返回的值与 fH/fL 的比值相关。精确的关系式很难求出，但是可以通过数值仿真求出数值对应关系。大体上，fH/fL=10时，相位返回60°。

 

最后说几句题外话。

本文中所有的计算都是采用开源数学软件 Maxima 完成的。掌握一两种数学软件的使用会让电路设计工作变得更加简单。