【李宏毅机器学习笔记】 18、支持向量机（Support Vector Machine，SVM）
【李宏毅机器学习笔记】1、回归问题（Regression）
【李宏毅机器学习笔记】2、error产生自哪里？
【李宏毅机器学习笔记】3、gradient descent
【李宏毅机器学习笔记】4、Classification
【李宏毅机器学习笔记】5、Logistic Regression
【李宏毅机器学习笔记】6、简短介绍Deep Learning
【李宏毅机器学习笔记】7、反向传播（Backpropagation）
【李宏毅机器学习笔记】8、Tips for Training DNN
【李宏毅机器学习笔记】9、Convolutional Neural Network（CNN）
【李宏毅机器学习笔记】10、Why deep？（待填坑）
【李宏毅机器学习笔记】11、 Semi-supervised
【李宏毅机器学习笔记】 12、Unsupervised Learning - Linear Methods
【李宏毅机器学习笔记】 13、Unsupervised Learning - Word Embedding（待填坑）
【李宏毅机器学习笔记】 14、Unsupervised Learning - Neighbor Embedding（待填坑）
【李宏毅机器学习笔记】 15、Unsupervised Learning - Auto-encoder（待填坑）
【李宏毅机器学习笔记】 16、Unsupervised Learning - Deep Generative Model（待填坑）
【李宏毅机器学习笔记】 17、迁移学习（Transfer Learning）
【李宏毅机器学习笔记】 18、支持向量机（Support Vector Machine，SVM）
【李宏毅机器学习笔记】 19、Structured Learning - Introduction（待填坑）
【李宏毅机器学习笔记】 20、Structured Learning - Linear Model（待填坑）
【李宏毅机器学习笔记】 21、Structured Learning - Structured SVM（待填坑）
【李宏毅机器学习笔记】 22、Structured Learning - Sequence Labeling（待填坑）
【李宏毅机器学习笔记】 23、循环神经网络（Recurrent Neural Network，RNN）
【李宏毅机器学习笔记】 24、集成学习（Ensemble）
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【李宏毅深度强化学习】视频地址：https://www.bilibili.com/video/av10590361?p=31
课件地址：http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_ML16.html
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Outline
SVM有两个特色，分别是Hinge Loss和Kernel Method。两者加起来就是SVM。
Hinge Loss
之前说过，机器学习大体分三步。上图以二分类为例。
第二步原本的loss function是：如果预测结果 
正确，则等于0。如果预测结果错误，则等于1 。把这些结果累加起来就是loss function 。但是这样的做法，loss function是不可微的。所以需要换用
来近似刚才的做法。
下面是几种的图像。
- 绿线代表Sigmoid + cross entropy
- 蓝线代表Sigmoid + Square loss
- 红线代表Square loss
y\hat有+1和-1两种结果。
这个loss function定义为：预测的结果 f(x) 和真正的结果y\hat 同号的话，则f(x)越趋于无穷的方向的话，loss 越低。
接下来看看采用不同函数来做loss function的表现如何
Square loss
这里要说的是Square loss（上图的红线）：
如果用Square loss，则
- 当
时，希望预测结果
- 当
时，希望预测结果
- 当时，可以整理成
- 当时，可以整理成
此时，在大于0的方向，f(x)越大，
越大，loss也越大。不符合刚才说的越大，loss越小。
所以不能用Square loss作为loss function 。
Sigmoid + Square loss
这里要说的是Sigmoid + Square loss（上图的蓝线）：
如果用Sigmoid + Square loss，则
- 当时，希望预测结果
- 当时，希望预测结果
- 当时，可以整理成
- 当时，可以整理成
此时，
- 在大于0的方向，随着f(x)越大，越大，loss也越小。
- 在小于0的方向，随着f(x)越往负无穷的方向走，越接近1，loss越接近1。
符合刚才说的越大，loss越接近0；越小，loss越接近1 。
Sigmoid + Square loss先作为候选对象。
Sigmoid + cross entropy
这里要说的是Sigmoid + cross entropy（上图的绿线）：
此时，
- 在大于0的方向，随着f(x)越大，越大，loss越接近0。
- 在小于0的方向，随着f(x)越往负无穷的方向走，越大，loss也越大。
Sigmoid + cross entropy符合刚才说的越大，loss越接近0；但是随着越小，loss越大，并不是理想情况的接近1 。
这会不会有问题呢？
并不会，反而更有好处。这里将Sigmoid + cross entropy和上面说的候选对象Sigmoid + Square loss作对比。
看上图的蓝线和绿线，
- 可以看到在负数的方向，Sigmoid + cross entropy的梯度更大。所以在loss很大的时候，使用Sigmoid + cross entropy的话，能更快地更新参数。
- 而用Sigmoid + Square loss的话，梯度太小，导致更新参数的时候速度太慢。甚至于可能会完全不更新参数。
所以，现在以Sigmoid + cross entropy作为目前最佳的候选对象。
Hinge Loss
这里要说的是Hinge Loss（上图的紫线）：
如果用Hinge Loss，则
- 当时，可以整理成
。 如果loss为0的话，则说明
，此时可以推出
- 当时，可以整理成
。 如果loss为0的话，则说明
，此时可以推出
此时，
- 在大于0的方向，当大于1，loss一直为0。
- 在小于0的方向，随着f(x)越往负无穷的方向走，越大，loss也越大。
这样可以看到，Hinge Loss和Sigmoid + cross entropy很像，那它们有什么区别呢？
- 对于Hinge Loss来说，只要大于1，那Hinge Loss就觉得已经很好了，没必要再做更新。
- 对于Sigmoid + cross entropy来说，即便大于1，但loss仍然没到0，还要再做更新。
这个区别看起来好像Sigmoid + cross entropy会更准确，但实做的时候，准确度的差距并不大。而且Hinge Loss比较不受离群点（outlier）带来的影响，等下讲kernel会更明显看出这一点。
Linear SVM
把Linear SVM按照之前说的三个步骤做。如上图。
可以看到， Linear SVM 和 逻辑回归(logistics regression) 的一个区别：
- Loss function 用 cross entropy 的就是逻辑回归(logistics regression)
- Linear SVM用 Hinge Loss 的Linear SVM。
接下来看这个loss function怎么做gradient descent：
为了简便，这里省略掉后面的正则项。过程如上图。
Linear SVM – another formulation
上图是Loss Function的另一个形式，其实只是用一个
代替原来的
。
最小化Loss Function就是间接使
最小化。在这个前提下，
才会等于 
。
因为一直最小化下去，为了满足这两个不等式，所以会等于这两个值比较大的值，此时这两个不等式会起到和max()一样的作用。
把
整理为
（1 代表margin） 。如果不等式左边没办法大于右边，那可以通过加大使右边变小，来使不等式成立。
是一个slack variable，它是可以使margin的标准变宽的变量，所以要求一定要大于等于0，这一点刚好和刚才max()的变换呼应了。
Kernel Method
Dual Representation
可以看成是所有training data 
乘上一个
的总和。即 w 是所有training data的线性组合。
可以从这个角度去理解：上文说过，参数更新的式子是类似
这样。把很多维的参数更新式子合起来，就变成
。可以看到每次 w 的变化量和就是所有training data的线性组合。
在刚才的参数更新式子中，
（前文有说过这个偏微分有
和 0 两种结果）。
- 如果
结果为0，则代表此时的
不会被加到 w 里面去（即
之中的为0）。 - 如果结果为
，则代表此时的会加到 w 里面去（即之中的不为0），这些 不为0的 会对模型的参数 w 起很大的影响，所以也叫support vectors。
由于（Hinge Loss）大部分情况为0，所以最后只有少数的能起作用，这样就减小了离群点（outlier）对模型的影响。（这里就是上文说过Hinge Loss比较不受离群点的影响的原因）
- 将 w 的式子再做一次变形 ，
则变形为
- 定义一个函数K（Kernel Function）来代表
，这时
做完刚才变换后，现在要最小化Loss Function，就是要找一组
能使loss值最小化。
其中，Loss Function的
可以使用Kernel Trick来计算。这样就不需要知道转换到高维的 
的vector长什么样，也可以直接算出值。
接下来具体看下Kernel Trick。
Kernel Trick
- 之前说过，如果数据在低维不可分离的话，可以映射到高维的space上。上图的
就是在将 x 映射映射到高维上。这一步就是做feature transformation 。 - 然后
就会等于
。这一步就是做inner product。
使用Kernel Trick的话，就可以不用做feature transformation和inner product，直接算出
的值。
我们将上图的过程做整理，会得出
。
所以以后计算直接套这个公式就好，不用做feature transformation然后再做inner product 。
Radial Basis Function Kernel
如果 
和 
是无穷多维，那么此时没办法算它们的inner product 。
所以需要用Radial Basis Function Kernel，
。
x和z越像（距离近），
的值越大。x和z越不像（距离远）， 的值越接近0。
最后把关于 x 的项串成一个vector，把关于 z 的项串成另一个vector。这两个vector相乘就是的值。
Sigmoid Kernel
使用Sigmoid Kernel后，
（tanh函数的图像和sigmoid函数是一样的）。
使用Sigmoid Kernel可以看成一个一层的hidden layer。
- 每个data point
可以看做是神经元的weight - 神经元的数量和support vector的数量相等
- 既然有Kernel trick，那就可以设计一个kernel function来代替掉
。 - 当 x 是类似句子这样的structured object，比较难transform到高维，即很难做
。这时就能Kernel Function来求解
的结果 - 可以看成是在评估 x 和 z 的相似性（similarity）。
- 可以使用Mercer’s theory来判断所使用的Kernel Function有没有用。
上图是一些音频段，每一段音频讯号长短不一样，所以很难把它转换成vector。所以现在可以直接用Kernel Function。更详细的东西可以见上图所示的论文。
SVM related methods
- 之前在做Regression的时候，是希望model的output和target越近越好。而Support Vector Regression (SVR)，只要output和target距离近到一定程度，loss就为0，不会再继续更新参数了。（文章前面有说过这个）
- 其它两种想深入了解可以看《机器学习导论》作者：Ethem Alpaydin。所处章节如上图所示。