ACM多项式算法入门

在摸索了很久很久，还是没找到多项式的正确入门方式，所以尝试着自己写一下

内容包含

• 多项式乘法
• 多项式求逆
• 多项式除法
• 多项式取模
• 多项式开根（待更新）
• 多项式求ln（待更新）
• 多项式求exp（待更新）

多项式乘法

• 对于多项式$A(x),B(x)$ $$A(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+a_{n-3}{x}^{n-3}+...+a_{1}x+a_0$$$$B(x)=b_n{x}^n+b_{n-1}{x}^{n-1}+b_{n-2}{x}^{n-2}+b_{n-3}{x}^{n-3}+...+b_{1}x+b_0$$
  $G(x)=A(x)B(x)$ 中第 $x$ 项的系数 $$g_x=\sum _{i+j=x}{a}_i{b}_j$$
  这是一个卷积的形式，因此我们可以考虑使用$FFT$ 或者 $NTT$ 来优化这个卷积，这样就可以在 $O(nlog(n))$ 时间内实现多项式乘法

void mul(LL* a,int n, LL* b,int m){
    for(int i=n+1; i<=Lim; i++) a[i] = 0;
    for(int i=m+1; i<=Lim; i++) b[i] = 0;
    for(int i=0; i<=n; i++) a[i] = (a[i]%P + P) % P; // 第一个多项式系数
    for(int i=0; i<=m; i++) b[i] = (b[i]%P + P) % P; // 第二个多项式系数
    NTT(a,1); NTT(b,1);
    for(int i=0; i<= Lim; i++) a[i] = a[i]*b[i] % P; // O（n）求点值表示法
    NTT(a,-1); // 逆变换变成系数表示法
}

多项式求逆

• 定义

  • 对于多项式 $A(x)$ 若存在多项式 $B(x)$ 满足 $A(x)B(x)=1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^n)$，那么称 $B(x)$ 为 $A(x)$ 在模 $x^n$ 意义下的逆

• 倍增法

  • 利用了倍增的一种思想，当前需要求 $A(x)$ 在模 $x^n$ 下的逆，假设已知了 $$A(x)G(x)=1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })\text{\hspace{1em}(1)}$$那么我么现在需要求解 $$A(x)B(x)=1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^n)\text{\hspace{1em}(2)}$$首先对于公式$(2)$我们发现，$A(x)B(x)$ 的 $1,2...,n-1$次项系数都是0，因此在 模 $x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil }$的意义下一样成立， $$A(x)B(x)=1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })\text{\hspace{1em}(3)}$$由$(3)-(1)$我们可以得到 $$A(x)(B(x)-G(x))=0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })\text{\hspace{1em}(4)}$$显然，这个A(x)不为零多项式（不然也没必要讨论他的逆了）那么就有$$B(x)-G(x)=0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })\text{\hspace{1em}(5)}$$两边平方一下，注意到左边的多项式从 $1,2...\lceil \frac{n}{2}\rceil$ 系数都是0，那么平方之后，前$n-1$项系数都是0，因此平方之后在模 $x^n$的条件下成立。$$B^2(x)-2B(x)G(x)+G^2(x)=0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^n)\text{\hspace{1em}(6)}$$这个时候两边一起乘上 $A(x)$$$A(x)B^2(x)-2A(x)B(x)G(x)+A(x)G^2(x)=0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^n)\text{\hspace{1em}(7)}$$利用公式$(2)$ 我们得到$$B(x)-2G(x)+A(x)G^2(x)=0\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^n)\text{\hspace{1em}(8)}$$ 移项之后，我么就得到了$A(x)$ 的逆 $B(x)$ $$B(x)=2G(x)-A(x)G^2(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^n)\text{\hspace{1em}(9)}$$这样我们就得到了多项式的递推方法

• CODE

    // A的逆存在B中
    void get_inv(int n,LL *a,LL *b,LL mod){
        if (n == 1) { b[0] = qpow(a[0],mod-2); return;}
        get_inv((n + 1)/2,a,b,mod);
        int len = 0,lim = 1;
        while(lim < (n << 1)) lim <<= 1, ++len;
        for(int i=1; i<lim; i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
        for(int i=0; i<n; i++) c[i] = a[i];
        for(int i=n; i<lim; i++) c[i] = 0;
        NTT(c,lim,1); NTT(b,lim,1);
        for(int i=0; i<lim; i++)
            b[i] = (2ll-c[i]*b[i]%mod+mod)%mod*b[i]%mod;
        NTT(b,lim,-1);
        for(int i=n; i<lim; i++) b[i] = 0;        
    }

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多项式除法 - update at 2020.04.02

• 学习完了多项式求逆，现在可以开始多项式除法了，先给一道例题[模板]多项式除法
• 我们对于给定的$F(x),G(x)$ 求 $F(x)=G(x)\ast Q(x)+R(x)$ 中的 $Q(x),R(x)$
• 首先考虑对于$F(x)=x^n\ast x^{-n}F(x)$ ，令$x^{-n}F(x)=Fr(x)$，带入 并且令$x=\frac{1}{x}$有$Fr(x)=x^n\ast F(\frac{1}{x})$，对多项式有一定了解就会发现，$Fr(x)$是$F(x)$ 的反转
• 回到上述式子当中，$$F(\frac{1}{x})=G(\frac{1}{x})\ast Q(\frac{1}{x})+R(\frac{1}{x})$$那么两边乘$x^n$ $$x^{n}F(\frac{1}{x})=x^{m}G(\frac{1}{x})\ast x^{n-m}Q(\frac{1}{x})+x^{n-m+1}\ast x^{m-1}R(\frac{1}{x})$$利用上述公式得到$$Fr(x)=Gr(x)\ast Qr(x)+x^{n-m+1}\ast x^{m-1}R(\frac{1}{x})$$对$x^{n-m+1}$取模得到 $$Fr(x)=Gr(x)\ast Qr(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^{n-m+1})$$对$Gr(x)$求逆即可得到$$Qr(x)=Fr(x)\ast G{r}^{-1}(x)\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}(x^{n-m+1})$$反转即可得到$Q(x)$，最后再做一遍减法$$R(x)=F(x)-Q(x)\ast G(x)$$即可，乘法利用NTT优化，注意取模即可

#include 
using namespace std;
typedef long long LL;
inline long long read(){
   long long f = 1, x = 0;char ch = getchar();
    while (ch > '9' || ch < '0'){if (ch == '-')f = -f;ch = getchar();}
    while (ch >= '0' && ch <= '9'){x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}
    return x * f;
}
const int maxn = 4e5 + 10;
const LL mod = 998244353, G = 3;
LL f[maxn],g[maxn],fr[maxn],gr[maxn],q[maxn],rs[maxn];
namespace Poly{
    LL c[maxn],r[maxn],x[maxn];
    LL qpow(LL a,LL b){
        LL base = a % mod,ans = 1;
        while(b){
            if (b & 1) ans = ans*base % mod;
            base = base * base % mod;
            b >>= 1;
        }
        return ans % mod;
    }
    inline void NTT(LL *A,int Lim,int type){
        for(int i=0; i<Lim; i++) 
            if (i < r[i]) swap(A[i],A[r[i]]);
        for(int m = 1; m < Lim; m<<=1){
            LL wn = qpow(G, (mod-1)/(m << 1));
            for(int j=0; j<Lim; j+=(m<<1)){
                LL w = 1;
                for(int k=0; k<m; k++,w = w*wn % mod){
                    LL x = A[j+k],y = w*A[j+k+m] % mod;
                    A[j+k] = (x + y) % mod;
                    A[j+k+m] = (x - y + mod) % mod;
                }
            }
        }
        if (type == 1) return;
        LL inv = qpow(Lim,mod-2); reverse(A+1,A+Lim);
        for(int i=0; i<Lim; i++) A[i] = A[i]*inv % mod;
    }
    void init(){
        memset(c,0,sizeof(c));
        memset(r,0,sizeof(r));
    }
    void mul(LL* a, LL* b,int lim){
        memset(x,0,sizeof(x));
        for(int i=0; i<(lim >> 1); i++) x[i] = (b[i] % mod + mod) % mod;
        NTT(a, lim, 1); NTT(x, lim,1);
        for(int i=0; i<lim; i++) a[i] = a[i] * x[i] % mod;
        NTT(a, lim, -1);    
    }
    // A的逆存在B中
    void get_inv(int n,LL *a,LL *b,LL mod){
        if (n == 1) { b[0] = qpow(a[0],mod-2); return;}
        get_inv((n + 1)/2,a,b,mod);
        int len = 0,lim = 1;
        while(lim < (n << 1)) lim <<= 1, ++len;
        for(int i=1; i<lim; i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
        for(int i=0; i<n; i++) c[i] = a[i];
        for(int i=n; i<lim; i++) c[i] = 0;
        NTT(c,lim,1); NTT(b,lim,1);
        for(int i=0; i<lim; i++)
            b[i] = (2ll-c[i]*b[i]%mod+mod)%mod*b[i]%mod;
        NTT(b,lim,-1);
        for(int i=n; i<lim; i++) b[i] = 0;        
    }
    // f(x) = q(x) * g(x) + r(x)
    void get_div(LL f[],int n,LL g[],int m,LL q[],LL rs[]){
        for(int i=0; i<=n; i++) fr[i] = f[n-i];
        for(int i=0; i<=m; i++) gr[i] = g[m-i];
        for(int i=n-m+2; i<=m; i++) gr[i] = 0;
        get_inv(n-m+1, gr, q, mod);
        int len = 0,lim = 1;
        while(lim <= (n << 1)) lim <<= 1, ++len;
        for(int i=1; i<=lim; i++) r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(len-1));
        mul(q, fr, lim);
        reverse(q,q+n-m+1);
        for(int i=n-m+1; i<=n; i++) q[i] = 0;
        mul(g, q, lim);
        for(int i=0; i<=m; i++) rs[i] = (f[i] - g[i] + mod) % mod;
    }
}
int main(){
    int n = read(),m = read();
    for(int i=0; i<=n; i++) f[i] = read();
    for(int i=0; i<=m; i++) g[i] = read();
    Poly::get_div(f,n,g,m,q,rs);
    for(int i=0; i<=n-m; i++) printf("%d ",q[i]); printf("\n");
    for(int i=0; i<=m-1; i++) printf("%d ",rs[i]); printf("\n");
    return 0;
}   

待更新

多项式取模

多项式求ln

多项式求exp