李宏毅《机器学习》——分类：概率生成模型

盒子抽球问题

假设两个盒子，各装了5个球，还得知随机抽一个球，抽到的是盒子1的球的概率是$P(B_1)=2/3$，是盒子2的球的概率是$P(B_2)=1/3$。从盒子中蓝色球和绿色球的分配可以得到：在盒子1中随机抽一个球，是蓝色的概率为$P(Blue|B_1)=4/5$，绿的的概率为$P(Green|B_1)=1/5$，同理得到盒子2的信息:在盒子1中随机抽一个球，是蓝色的概率为$P(Blue|B_3)=2/5$，绿的的概率为$P(Green|B_2)=3/5$。

求：随机从两个盒子中抽一个球，抽到的是盒子1中蓝色球的概率$P(B_1|Blue)$是多少？

根据条件独立公式，如果事件$B_1$：是盒子1，和事件$Bule$：是蓝色球相互独立，则有：$$P(B_1,Bule)=P(B_1)P(Bule)$$
条件概率公式：

$$P(B_1|Bule)=\frac{P(Bule,B_1)}{P(Bule)}$$

$$P(Bule|B_1)=\frac{P(Bule,B_1)}{P(B_1)}$$
或者说:
$$P(B_1|Bule)=\frac{P(Bule|B_1)P(B_1)}{P(Bule)}$$

由全概率公式：
$$P(X)=\sum _{k}P(X|Y=Y_k)P(Y_k)其中\sum _{k}P(Y_k)=1$$
故：$$P(Bule)=P(Blue|B1)P(B1)+P(Blue|B2)P(B2)$$

所以：
$$P(B_1|Bule)=\frac{P(Bule|B_1)P(B_1)}{P(Blue|B1)P(B1)+P(Blue|B2)P(B2)}$$

$P(C1|x)$ 是由贝叶斯$(bayes)$公式得到的；$P(x)$是由全概率公式得到的