[Codeforces1139D][DP][莫比乌斯反演]Steps to One

翻译

给你一个数$n$
每次随机在$[1,n]$中选一个数加入$a$数组
如果$a$数组中$gcd=1$时就结束
问$a$数组的期望长度

题解

把图建出来，发现如果去掉自环就是一个DAG
发现自己居然不会求这个期望…
先记住一点东西
$$f[x]=\sum (f[y]+1)\ast t$$
然后如果已经求出了除了自己的期望和$S$，那么解一下$f[x]=(f[x]+1)\ast t+S$这个方程
可以知道$f[x]=\frac{S+t}{1-t}$
嗯…如果能算出来所有的$f[x]$，最后的答案就是$1+\sum \frac{f[x]}{n}$
求$f[x]$可以拓扑$dp$
然后考虑怎么算出转移概率$t$
问题简化为问你在$[1,n]$中，与$i$互质的数的个数有多少个
设$F[d]$表示与$i$的$gcd$是$d$的倍数的数有多少个
$f[d]$表示$gcd=d$的数有多少个
显然$f[d]={\sum }_{d|n}\mu (\frac{n}{d})F(n)$
可以注意到的是，有值的$F$仅有约数个
那么直接做似乎复杂度就够了…

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#define LL long long
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
#define pll pair
#define pii pair
using namespace std;
inline int read()
{
	int f=1,x=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
int stack[20];
inline void write(int x)
{
	if(x<0){putchar('-');x=-x;}
    if(!x){putchar('0');return;}
    int top=0;
    while(x)stack[++top]=x%10,x/=10;
    while(top)putchar(stack[top--]+'0');
}
inline void pr1(int x){write(x);putchar(' ');}
inline void pr2(int x){write(x);putchar('\n');}
const int MAXN=100005;
const int mod=1e9+7;
int pow_mod(int a,int b)
{
	int ret=1;
	while(b)
	{
		if(b&1)ret=1LL*ret*a%mod;
		a=1LL*a*a%mod;b>>=1;
	}
	return ret;
}
struct edge{int x,y,c,next;}a[MAXN*20];int len,last[MAXN];
void ins(int x,int y,int c){len++;a[len].x=x;a[len].y=y;a[len].c=c;a[len].next=last[x];last[x]=len;}
int n,f[MAXN],du[MAXN];
int mu[MAXN],pr[MAXN],plen,is[MAXN];
void getmu()
{
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<MAXN;i++)
	{
		if(!is[i])pr[++plen]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=plen&&i*pr[j]<MAXN;j++)
		{
			is[i*pr[j]]=true;
			if(!(i%pr[j])){mu[i*pr[j]]=0;break;}
			else mu[i*pr[j]]=-mu[i];
		}	
	}
}
queue<int> li;
void ad(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
vector<int> vec[MAXN];
int main()
{
	getmu();
	for(int i=1;i<MAXN;i++)
		for(int j=1;i*j<MAXN;j++)vec[i*j].push_back(i);
	n=read();
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=2;i*j<=n;j++)
		{
//			int up=n/i,si=up-(up/j)-(j-1);
//			printf("%d %d %d\n",i,i*j,phi[j]+si);
			int up=n/i,sum=0;
			for(int k=0;k<vec[j].size();k++)sum+=mu[vec[j][k]]*(up/vec[j][k]);
			ins(i,i*j,sum),du[i*j]++;
		}
	li.push(1);
	int inv=pow_mod(n,mod-2);
	while(!li.empty())
	{
		int x=li.front();li.pop();
		if(x!=1)
		{
			int si=n/x,sum=(f[x]+1LL*si*inv%mod)%mod;
			f[x]=1LL*sum*pow_mod(1-1LL*si*inv%mod+mod,mod-2)%mod;
		}
		for(int k=last[x];k;k=a[k].next)
		{
			int y=a[k].y;
			ad(f[y],1LL*(f[x]+1)*a[k].c%mod*inv%mod);
			du[y]--;
			if(!du[y])li.push(y);
		}
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)ad(ans,1LL*f[i]*inv%mod);
	ad(ans,1);
	pr2(ans);
	return 0;
}