逻辑中的对偶原理与蕴含定理

逻辑中的对偶原理与蕴含定理

这两个都是简单实用的, 但没有教材正式的提及过,其中对偶原理只是感觉是对的, 而蕴含定理却是精确和毫无疑问的.

对偶原理 (MP)’=M’P’

这个对偶原理和数字电路的对偶原理很像,但并不一样,这里的对偶并不一定是对立,否定的意思, 因为 命题,连接词,量词,模态词,都可以有各自的对偶，这个对偶原理是个模糊定理 , 因为我说不清公式中的 M, P, ’ 这三个符号代表什么意思。
大多数情况下只要MP, M’P’有某种意义 , 那么(MP)’=M’P’总是成立的,如果不成立可定义运算的对偶*‘ (M*P)’=M’ *‘P’ 使得对偶原理总成立
一般把M看作模态词,把p看成命题, (M,M’)和(P,P’)是两个对偶对, 利用(MP)’=M’P’可以从老对偶对得到新的对偶对

1. (3* 5)^-1=(3 ^-1) *(5 ^-1)
2. (或)’=(有真)’=(有’真’)=(没有假)=(与) ==> 或和与 互为对偶对
3. (必然 死)’=可能 活
4. (所有 死)’=存在 活
5. (所有 P)’ =存在 非P
6. 常用的对偶对: (所有,必然,禁止,必须,永远,是,与…)’= (存在,可能,允许,无需,有时,非, 或…)

这个对偶原理只是概括了一部分逻辑经验,不必较真,对偶原理主要用于找复杂命题的否命题

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蕴含定理:∧pi→∨qj ,两边取否定后换到另一侧与原命题等价

比如下面把p2移到右侧
p1∧p2→q1∨q2 <==> p1→p2’∨q1∨q2

1. 证明 p→q <==> p’vq
   p→q = 1→p’vq=p’vq

2.证明 p1→q1 vq2 <==> p1∧q1’ →q2
把q1移到左侧 , OK

蕴含定理能大大简化命题公式的证明

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数学分析中命题使用谓词表达

刚学数学分析时那时还没正式的接触谓词逻辑只是零散的学过一些符号∀,∃,数学分析教材上虽然使用了一些符号，但并不是正确的命题公式,更谈不上逻辑规则的套用。

数列极限的3种表达
人的语言:当n足够大时,an离A可以任意近
数学语言:∀ε∃N∀n(ε>0ΛN>0Λn>N)→|an-A|<ε)
逻辑语言:∀x∃y∀z(F(x,y,z))

逻辑语言适用于对推理规律的总结
数学语言适用于数学概念的定义与命题的推理
人的语言适用于命题证明思路的启发
还有自己定义的一些符号或写法用于简化推理
熟练推理的前提是不同语言间的熟练的转化

谓词逻辑中的命题公式很多,数学推理中用到的却很少,有上面的对偶原理就够了,对偶原理主要用于解决怎么找一个命题的否命题,这一点在数学上用的非常多.
limAn=A 的否命题为 limAn≠A
对偶原理 带入∀ε∃N∀n(ε>0ΛN>0Λn>N)→|an-A|<ε)
得到 ∃ε∀N∃n(ε>0ΛN>0Λn>N)Λ|an-A|≥ε)
里面用到了¬(p→q)=¬(¬pVq)=(pΛ¬q)
可以看到就是在交叉使用 对偶原理 和 蕴含定理，

下面两条是数学语言与简化后的自定义语言的关系,其规律是将量词约束与论域约束写在一起,甚至后面的→和Λ 都可省掉,自定义语言一是能简化推理少写字,其次是方便和自然语言的转化,
自定义语言是想怎么写就怎么写的,只要自己清楚如何与其他语言转化即可。

∀ε∃N∀n(ε>0ΛN>0Λn>N)→|an-A|<ε)= =∀ε>0 ∃N>0, ∀n>N→|an-A|<ε = = ∀ε∃N, n>N→|an-A|<ε == ε,n>N1,|an-A|<ε

∃ε∀N∃n(ε>0ΛN>0Λn>N)Λ|an-A|≥ε) = = ∃ε>0 ∀N>0, ∃n>N Λ |an-A|≥ε

推理的路径是一颗树,它从已知条件或猜测开始,而问题的答案却是一条线,有大量从树到线的实践才会沉淀出经验