机器学习（三）降维之PCA及鸢尾花降维

一.主成分分析（Principal Component Analysis，PCA）

（1）简介

最常用的一种降维方法，通常用于高维数据集的探索与可视化，还可以用作数据压缩和预处理等。
PCA可以把具有相关性的高维变量合成为线性无关的低维变量，称为主成分。主成分能够尽可能保留原始数据的信息。

（2）复习相关术语

• 方差：各个样本和样本均值的差的平方和的均值，用来度量一组数据的分散程度。
• 协方差：用于度量两个变量之间的线性相关性程度，若两个变量的协方差为0，则可认为二者线性无关。协方差矩阵则是由变量的协方差值构成的矩阵（对称阵）。

• 协方差矩阵
• 特征向量和特征值

特征向量：矩阵的特征向量是描述数据集结构的非零向量，并满足如下公式：

A是方阵， 是特征向量，是特征值。

（3）PCA原理

矩阵的主成分就是其协方差矩阵对应的特征向量，按照对应的特征值大小进行排序，最大的特征值就是第一主成分，其次是第二主成分，以此类推。

sklearn中主成分分析
在sklearn库中，可以使用sklearn.decomposition.PCA加载PCA进行降维，主要参数有：
• n_components：指定主成分的个数，即降维后数据的维度
• svd_solver ：设置特征值分解的方法，默认为‘auto’,其他可选有
‘full’, ‘arpack’, ‘randomized’。

（4）鸢尾花实例

目标：已知鸢尾花数据是4维的，共三类样本。使用PCA实现对鸢尾花数据进行降维，实现在二维平面上的可视化。

import matplotlib.pyplot as plt
#加载matplotlib用于数据的可视化
from sklearn.decomposition import PCA
#加载PCA算法包
from sklearn.datasets import load_iris
#加载鸢尾花数据集到输入函数
 
data = load_iris()
#以字典形式加载鸢尾花数据集
y = data.target #使用y表示数据集中的标签
X = data.data   #使用X表示数据集中的属性数据
pca = PCA(n_components=2)
#加载PCA算法，设置降维后主成分数目为2

reduced_X = pca.fit_transform(X)
#对原始数据进行降维，保存在reduced_X中

#按照类别对降维后的数据进行保存
red_x, red_y = [], []
blue_x, blue_y = [], []
green_x, green_y = [], []
 
for i in range(len(reduced_X)):
    if y[i] == 0:
        red_x.append(reduced_X[i][0])
        red_y.append(reduced_X[i][1])
    elif y[i] == 1:
        blue_x.append(reduced_X[i][0])
        blue_y.append(reduced_X[i][1])
    else:
        green_x.append(reduced_X[i][0])
        green_y.append(reduced_X[i][1])
#按照鸢尾花的类别将降维后的数据点保存在不同的列表中
 
plt.scatter(red_x, red_y, c='r', marker='x')
plt.scatter(blue_x, blue_y, c='b', marker='D')
plt.scatter(green_x, green_y, c='g', marker='.')
plt.show()

结果输出：

由上图可以看出降维后的数据清晰分成3类，得以削减数据的维度，降低分类任务的工作量，保证分类质量。