【时间序列】怎么理解ACF 和PACF

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1 概述

ACF 是一个完整的自相关函数，可为我们提供具有滞后值的任何序列的自相关值。简单来说，它描述了该序列的当前值与其过去的值之间的相关程度。时间序列可以包含趋势，季节性，周期性和残差等成分。ACF在寻找相关性时会考虑所有这些成分。

直观上来说，ACF 描述了一个观测值和另一个观测值之间的自相关，包括直接和间接的相关性信息。

PACF 是部分自相关函数或者偏自相关函数。基本上，它不是找到像ACF这样的滞后与当前的相关性，而是找到残差（在去除了之前的滞后已经解释的影响之后仍然存在）与下一个滞后值的相关性。因此，如果残差中有任何可以由下一个滞后建模的隐藏信息，我们可能会获得良好的相关性，并且在建模时我们会将下一个滞后作为特征。请记住，在建模时，我们不想保留太多相互关联的特征，因为这会产生多重共线性问题。因此，我们只需要保留相关功能。

直观上来说，PACF 只描述观测值$y_t$ 和其滞后项$y_{t-k}$ 之间的直接关系，调整了其他较短滞后项（$y_{t-1}$ ，$y_{t-2}$ ……$y_{t-k-1}$ ）的影响。

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2 截尾与拖尾

截尾是指时间序列的自相关函数（ACF）或偏自相关函数（PACF）在某阶后均为0的性质（比如AR的PACF）；拖尾是ACF或PACF并不在某阶后均为0的性质（比如AR的ACF）。

• 截尾：在大于某个常数k后快速趋于0为k阶截尾
• 拖尾：始终有非零取值，不会在k大于某个常数后就恒等于零(或在0附近随机波动)

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3 Auto regressive (AR) process

当一个时间序列中，它当前的观测值可以通过历史观测值获得是，那么就是一个AR。

P 阶AR 过程可以写成下面的式子：

$$y_t=c+{\varphi }_1{y}_{t-1}+{\varphi }_2{y}_{t-2}+\dots \dots +{\varphi }_p/y_{t-p}+{\epsilon }_t$$
其中 ${\epsilon }_t$ 是白噪声，$y_{t-1}$，$y_{t-2}$ 是滞后项。阶数P 是滞后值，PACF 曲线在该滞后值首次穿过上限置信区间。这些P 延迟将作为我们预测AR 时间序列的特征。

我们不能在这里使用ACF图，因为即使对于过去很久远的滞后项，它也会显示出良好的相关性。如果我们考虑了这么多特征，我们将遇到多重共线性问题。这对于PACF图来说不是问题，因为它删除了之前滞后已经解释的成分，因此我们只得到了与残差相关的滞后，比如未被较早的滞后项所解释的成分。

在下面的代码中，我定义了一个简单的AR 流程，并使用PACF 图找到了它的阶数。我们应该期望我们的AR过程在ACF图中显示出逐渐减少的趋势，因为作为一个AR过程，其当前与过去的滞后项具有良好的相关性。我们期望PACF在滞后项阶数后会急剧下降，因为这些接近当前项的滞后项可以很好地捕获变化，因此我们不需要很多过去的滞后项来预测当前项。

构建数据：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 
%matplotlib inline 

import matplotlib
matplotlib.rc('xtick', labelsize=40) 
matplotlib.rc('ytick', labelsize=40) 

import seaborn as sns
sns.set(style="whitegrid", color_codes=True)
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf


t = np.linspace(0, 10, 500)
#normal distributed values
ys = np.random.normal(0,5,500)


#exponential series to get the trend
ye = np.exp(t**0.5)
#adding normally distributed series in exponential series
y = ys+ye
#plot
plt.figure(figsize=(16,7))
plt.plot(t,y)

ACF：

#calling auto correlation function
lag_acf = acf(y, nlags=300)
#Plot PACF:
plt.figure(figsize=(16, 7))
plt.plot(lag_acf,marker='+')
plt.axhline(y=0,linestyle='--',color='gray')
plt.axhline(y=-1.96/np.sqrt(len(y)),linestyle='--',color='gray')
plt.axhline(y=1.96/np.sqrt(len(y)),linestyle='--',color='gray')
plt.title('Autocorrelation Function')
plt.xlabel('number of lags')
plt.ylabel('correlation')
plt.tight_layout()

PACF：

#calling partial correlation function
lag_pacf = pacf(y, nlags=30, method='ols')
#Plot PACF:
plt.figure(figsize=(16, 7))
plt.plot(lag_pacf,marker='+')
plt.axhline(y=0,linestyle='--',color='gray')
plt.axhline(y=-1.96/np.sqrt(len(y)),linestyle='--',color='gray')
plt.axhline(y=1.96/np.sqrt(len(y)),linestyle='--',color='gray')
plt.title('Partial Autocorrelation Function')
plt.xlabel('Number of lags')
plt.ylabel('correlation')
plt.tight_layout()

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4 Moving average(MA) Process

Moving average(MA) Process 是一个序列，其中当前值是由过去误差的线性组合组成的。我们认为误差是服从正态分布并且相互独立的。

q 阶MA 过程可以定义为下面的式子：
$$y_t=c+{\epsilon }_t+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}+{\theta }_2{\epsilon }_{t-2}+\dots \dots +{\theta }_q/{\epsilon }_{t-q}$$
其中 ${\epsilon }_t$ 是白噪声。为了更直观的体会MA 过程，我们可以先考虑一阶MA。

$$y_t=c+{\epsilon }_t+{\theta }_1{\epsilon }_{t-1}$$
假设$y_t$ 是原油价格，${\epsilon }_t$ 是原油价格由于飓风影响产生的波动。假设$c=10$（没有飓风时候原油的均价）并且${\theta }_1=0.5$ 。

• 假设今天有飓风，昨天没有飓风，因此，${\epsilon }_t=5$ ，$y_t=15$
• 明天没有飓风，因此，${\epsilon }_t=0$ ，${\epsilon }_{t-1}=5$ ，$y_t=12.5$ 。
• 明天之后仍然没有飓风，那么原油价格就会回到10，也就是回到均价水平。

在这个例子中，飓风的影响只能保持一个滞后项。 这个例子中的飓风是一个独立现象。

MA 的阶数q 在里通过ACF 图获得，在阶数之后，ACF 会第一次穿过上限置信区间。根据上文我们知道，PACF 能够捕捉残差和时间序列滞后项的关系，我们可能能够从附近的滞后项和过去的滞后项得到很好的相关关系。为什么我们不用PACF呢？因为我们的序列是残差项的线性组合，并且时间序列本身的滞后项不能直接解释当前项（因为它并不是一个AR 过程）。PACF 图最核心的是，他能够提取已经被之前的滞后项所解释的变化，因此，在MA 过程中，PACF 失去了它的魔力。

另一方面，一个MA 过程，它并没有季节性或者趋势成分，因此ACF 能够捕捉只由于残差项带来的相关性。

在下面的代码中，我定义了一个简单的MA 流程，并使用ACF 图找到了它的阶数。我们应该期望ACF 图能够画出相邻的滞后项之间的良好的相关关系，并且在阶数q 之后迅速下降（因为这不是一个AR 过程，因此和过去的滞后项没有相关关系）。同样，我们也可以看到PACF 逐渐下降，临近的滞后项并不能预测当前项（不同于AR 过程）；而更远的滞后项有可能有良好的相关关系。

构建数据：

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 
%matplotlib inline 

import matplotlib
matplotlib.rc('xtick', labelsize=40) 
matplotlib.rc('ytick', labelsize=40) 

import seaborn as sns
sns.set(style="whitegrid", color_codes=True)

#ACF and PACF plots:
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt 
%matplotlib inline 

import matplotlib
matplotlib.rc('xtick', labelsize=40) 
matplotlib.rc('ytick', labelsize=40) 

import seaborn as sns
sns.set(style="whitegrid", color_codes=True)

#ACF and PACF plots:
from statsmodels.tsa.stattools import acf, pacf


#xma = np.random.randint(1,50000,100)
xma = np.random.normal(0,25,1000)

#lets create a MA series having mean 2 and of order 2
y5 = 2 + xma + 0.8*np.roll(xma,-1) + 0.6*np.roll(xma,-2) #+ 0.6 *np.roll(xma,-3)


plt.figure(figsize=(16, 7))
#Plot ACF: 
plt.subplot(121) 
plt.plot(xma)
plt.subplot(122)
plt.plot(y5)

ACF：

#calling acf function from stattools
lag_acf = acf(y5, nlags=50)
plt.figure(figsize=(16, 7))
#Plot ACF: 
plt.plot(lag_acf, marker="o")
plt.axhline(y=0,linestyle='--',color='gray')
plt.axhline(y=-1.96/np.sqrt(len(y5)),linestyle='--',color='gray')
plt.axhline(y=1.96/np.sqrt(len(y5)),linestyle='--',color='gray')
plt.title('Autocorrelation Function')
plt.xlabel('number of lags')
plt.ylabel('correlation')
plt.tight_layout()

PACF：

#calling pacf function from stattool
lag_pacf = pacf(y5, nlags=50, method='ols')

#PLOT PACF
plt.figure(figsize=(16, 7))
plt.plot(lag_pacf, marker="o")
plt.axhline(y=0,linestyle='--',color='gray')
plt.axhline(y=-1.96/np.sqrt(len(y5)),linestyle='--',color='gray')
plt.axhline(y=1.96/np.sqrt(len(y5)),linestyle='--',color='gray')
plt.title('Partial Autocorrelation Function')
plt.xlabel('number of lags')
plt.ylabel('correlation')
plt.tight_layout()

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5 总结

在建立机器学习模型的时候，我们应该避免多重共线性，时间序列模型也一样。

我们可以通过PACF 图来优化AR 过程中的特征，因为PACF 能够移除已经被先前的滞后项所解释的变化，因此我们只会得到相关的特征。

我们可以通过ACF 图，来优化MA 过程的特征，因为MA 过程没有季节性和趋势成分，我们只会在ACF 图中得到当前项和滞后项中残差的关系。

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参考资料：
https://towardsdatascience.com/significance-of-acf-and-pacf-plots-in-time-series-analysis-2fa11a5d10a8
https://www.biaodianfu.com/acf-pacf.html