高斯公式,斯克托斯公式

高斯公式

设在闭区域 Ω 上有稳定流动的、不可压缩的物体（假定流体的密度为1）的速度场
v⃗ (x,y,z)=P(x,y,z)i⃗ +Q(x,y,z)j⃗ +R(x,y,z)k⃗ 
∭div v⃗ dv=∬Σv⃗ ⋅n⃗ dS

其中
v⃗ =(P,Q,R) ,
n⃗ =(cosα,cosβ,cosγ) ,
dS⃗ =n⃗ ⋅dS=(dydz,dzdx,dxdy)
div v⃗ =∇⋅v⃗ =∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z

单位时间内流体经过曲面 Σ 流向指定侧的流体总质量就是

∬Σv⃗ ⋅n⃗ dS=∬Σ(P,Q,R)⋅(cosα,cosβ,cosγ)dS=∬Σ(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS=∬ΣPdydz+Qdzdx+Rdxdy=∭Ω∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂zdv=∭Ωdiv v⃗ dv

斯克托斯公式

∬Σrotv⃗ ⋅n⃗ dS=∮Γv⃗ ⋅τ⃗ ds
意义为:速度场 v⃗  沿有向闭曲线 Γ 的环流量等于速度场 v⃗  的旋度通过曲面 Σ 的通量,这里 Γ 的正向与 Σ 的侧应符合右手规则.

其中
v⃗ =(P,Q,R) ,
n⃗ =(cosα,cosβ,cosγ) ,
dS⃗ =n⃗ ⋅dS=(dydz,dzdx,dxdy) ,
rotv⃗ =∇×v⃗ =(∂R∂y−∂Q∂z)i⃗ +(∂P∂z−∂R∂x)j⃗ +(∂Q∂x−∂P∂y)k⃗ 
τ⃗ ds=ds⃗ =dxi⃗ +dyj⃗ +dzk⃗ 

∬Σ(∂R∂y−∂Q∂z)dydz+(∂P∂z−∂R∂x)dzdx+(∂Q∂x−∂P∂y)dxdy=∮ΓPdx+Qdy+Rdz