数学积累之线性无关的理解

1问：问一下，线性无关，在方程中怎样表示啊，是未知量的个数多于方程的个数吗？

2答：

 就是向量A无法用[b1,b2,...]的代数和表示
你说的那不是无关，是多解

1问：

 是啊，不能表示
但是只是定义啊

2答：

你说的可以表示

1问：那方程的理解那

2答：

 只不过不是唯一表示
很多解啊
解不唯一

a1x+b1y+c1z=0
a2x+b2y+c2z=0
这个方程组解可能不唯一！

1问：

 嗯，这是相关吧
无关的不是只有零解吗

2答：

 对
但是是未知量的个数多于方程的个数吗也有无解的情况
并且系数还是相关的

我最后那句说错了

1问：哦，理解了，就是相关和无关就是方程对应的有解和只有零解情况

3答：

 Y＝AX A满秩
A可逆
A行列式不等于0

4答：

向量组的线性相关，是说这个向量组有“多余的”向量，它们可以用其他的向量

线性表示。去掉这些“多余的”向量。对于原来向量组张成的向量空间没有影响

向量组的线性无关。是说这个向量组没有“多余的”向量。它的每一个向量，都

不能够用其他的向量线性表示，去掉任何一个向量，就会使原来向量组张成的向

量空间变小。

5：

1，a1，a2。。。as是一个向量组，记作A，b1，b2。。。bt是另一个向量组，记作B。如果A可由B线性表示，并且s>t，则A必然线性相关。

理解：考虑特殊情况B中向量线性无关，则B可以作为一个基，由s>t知，相当于在B里面加入s-t个向量形成A，且这s-t个元素均可以由B中向量线性表示，因而B可以相当于A中的一个极大线性无关组，所以A必然线性相关。

 

2，设包含m个n维向量的向量组A线性无关，那么扩展A中每一个向量为n+k维形成向量组B，则B仍然线性无关。

理解：考虑A中m个n维向量乘以对应的m个实系数k1，k2。。。km为0。这个相当于有n个等式的齐次线性方程组，其系数矩阵为M，由于A线性无关，所以只有0解，于是R（A）=m。

扩展为n+k维形成B后，未知量个数仍然为m，但是方程个数增加到n+k个，这k个新增方程的系数追加到M后面，必然可以被削成0，也就是

R（A）=m。所以仍然只有0解。

 

3，A是一个相性无关向量组，则A的任意子集必然为线性无关组（相当于在A中减少列，不会影响最终0解）。B是一个线性相关组，则向B中加入向量后，仍然是线性相关组。

补充例题：

1

设t1,t2,......,tr是r个互不相同的数，r<=n.证明：向量组ai=(1,ti,ti^2,....ti^(n-1))T(i=1,2,...,r)线性无关

答：设x1×a1＋x2×a2＋...＋xr×ar＝0，证明x1＝x2＝...＝xr＝0。 

此方程转化为关于关于x1，x2，...，xr的方程组，系数行列式是范德蒙行列式，所以非零，由此方程组只有零解。

分析：设A=(a_1,a_2,...,a_n)，由|A|不等于0即得A为满秩矩阵，故向量组ai=(1,ti,ti^2,....ti^(n-1))T(i=1,2,...,r)线性无关。

线性无关通俗点讲就是解都等于0吧

整体：

可以再增加n-r个向量，将r个向量增加为n个向量。 
如果这n个向量都线性无关，那么显然r个向量也线性无关。 

将r个互不相等的数t1,t2,......,tr扩展为n个互不相等的数t1,t2,......,tn； 
同时将向量组ai=(1,ti,ti^2,....ti^(n-1))T(i=1,2,...,r)扩展为向量组ai=(1,ti,ti^2,....ti^(n-1))T(i=1,2,...,n)。 

令A=[a1,a2,…,an],则|A|是n阶范德蒙特行列式，|A|=∏(aj-ai),其中1≤i＜j≤n，因为i＜j，i≠j，ai≠aj，所以|A|≠0，r(A)=n，从而Ａ的n个列向量线性无关，即t1,t2,......,tn线性无关。 
因为r≤n，所以t1,t2,......,tr线性无关。

2

向量组α1,α2。αs是线形方程组Ax=0的基础解系，向量B不是方程组AX=0的解。证明B+α1，B+α2。B+αs线性无关

答：

设k1（B+α1）＋k2（B+α2）＋...＋ks（B+αs）＝0    ...(1)
(k1+k2+...+ks)B+k1*a1+...+ks*as=0
向量组α1,α2。αs是线形方程组Ax=0的基础解系，向量B不是方程组AX=0的解,说明B不能由α1,α2,...αs线性表示（若能由其线性表示那么B必定是方程组Ax=0的解），从而B,α1,α2,...αs线性无关，所以依定义(k1+k2+...+ks)＝0，k1＝0，...，ks＝0.所以也就得（1）式线性无关（定义）。证毕。

反证法：

只需使用定义的变形，就可以解答此题。这是大学许多数学问题的共同现象。假设结论不成立，存在不为0的常数k1,k2,k3满足：
k1*(B+α1)+k2*(B+α2)+k3*(B+αs)=0,（1）
等式两边同时左乘A，可化简的：
（k1+k2+k3）*AB=0，（2）
(因为，α1,α2。αs是线形方程组Ax=0的基础解系，则Aαi=0,i=1,2,s.)
由于B不是方程组AX=0的解，故AB不为0矩阵。那么，必有（k1+k2+k3）=0，（3）
将（3）代入（1）式，得
k1*α1+k2*α2+k3*αs=0，又向量组α1,α2。αs是线形方程组Ax=0的基础解系，故α1,α2。αs线性无关，则k1=k2=k3=0.与k1,k2,k3中有不为0矛盾。 

3

有一原理：若α1，α2，……，αs线性无关，则它的任一延伸组（α1，β1）T，（α2，β2）T，……，（αs，βs）T，必线性无关

在求齐次方程组的基础解系时，要按阶梯形给自由变量赋值，就可确保延伸后的解向量是线性无关的，也是基于这一原理。 

问：在求齐次方程组的基础解系时，是怎样基于这个原理的，请举一个例子解释一下。

答：假设：X3，X4为自由变量。在赋值的时候保证X3，X4线性无关，设为（0，1）；（1，0）。则能够保证解向量α（X1，X2，0，1）和β（X1，X2，1，0）必定线性无关。（基础解系解向量之间必须满足的条件：线性无关）