磁共振指纹低秩交替乘子法重建（一）

本文是Low rank alternating direction method of multipliers reconstruction for MR fingerprinting一文的翻译阅读笔记，它于5 March 2017发表在Magnetic Resonance in Medicine上，如下图所示可以去这里下载，论文截图如

作者Jakob Asslander等来自NYU。

摘要

目的

提出的方法论述了磁共振指纹的重建精度，噪声传播以及计算时间。

方法

基于信号演变的奇异值分解，磁共振指纹可表述为低秩逆问题，在这一问题中，图像通过考虑到的奇异值来重加。信号演变的低秩逼近通过减少傅里叶变换的数量来降低计算负担。同时，低秩逼近改善了问题，这将通过扩展低秩逆问题为增广拉格朗日方法来改善，增广拉格朗日则通过交替乘子法来解决。在仿真中，我们分析 了根均方误差和噪声传播。为了验证结果，我们进行了活体实验。

结果

提出的低秩交替乘子法表明，相比原始的磁共振指纹重建、仅用低秩逼近以及仅用交替乘子法而没有低秩逼近，此方法有更小的根均方误差。合并领灵敏度编码可以进一步减少伪影。

结论

相比提到的其它磁共振指纹重建方法而言，本文中提出的方法提供了稳健的收敛性，降低了计算负担，改善了图像质量。

关键词

定量MRI，参数映射， 磁共振指纹，奇异值分解，并行成像， 增广拉格朗日

介绍

在磁场中，大型自旋1/2合奏的动力学一般由布洛赫方程描述。布洛赫方程通过带有本征时间常数 T1 和 T2 的弛豫项分别来捕获自旋-晶格之间和自旋-自旋之间的相互作用。在临床上可行的测量时间内精确地量化这些参数是可取的，例如用于长期研究并创造综合的对比。

下列的。为了保持在限制内的测量时间，我们通常在一次单个弛豫过程中采集多个数据点。这同样适用于T2图谱，T2成像中经常用到多自旋回波序列。已经提出通过在不同翻转角下获取多幅图像来进行T1和T2成像，这已经被证明在时间上非常有效（2-5）。然而，这些快速成像技术需要与自旋组合进行多次交互，这大大阻碍了自由弛豫并且由于磁化转移和其他效应中的仿真回波而引入系统噪声。

近年来，基于模型的参数成像已经变得越来越受欢迎，出于多种原因。Doneva等（6）使用了预学习的正交字典来加速反转恢复和基于多自旋回波的T1和T2成像实验。他们提出通过增强空域中的稀疏性来从高度降采样数据中重建图像，比如，他们认为少数的字典词条足以描述信号演变。或者，基于模型参数成像可以在快速成像技术中用来消除系统误差。例如，多自旋回波实验中的基于模型的T2成像，已经表现出增加的精度，当把来自仿真回波中的信号合并起来时。

基于模型方法的MRF(9)主要用于结合加速和准确度。MRF不同于传统的磁共振脉冲序列设计概念通过故意避免了稳态磁化，并且依赖布洛赫方程来解释测量信号。去除了稳态（或指数弛豫）强加的约束后， MRF打开了丰富的新的序列设计空间，这基本上转变了MR实验进行的方式。例如，多发射通道可以直接合并到序列中以在高场磁共振系统中各向异性的射频场情形下进行定量成像，以及梯度波形可以加以自由调制，从而将传统磁共振系统中的噪声转变为音乐（11）。

在MRF中，每个TR上的激发态一般都不一样。因此，不同的重复不大容易结合起来，这使得奈奎斯特采样梯度编码在临床上可行的空间分辨率和合理的测量时间内不可行。原始论文用两步程序来处理这一问题：首先，将降采样的k空间数据投影到图像空间上，这将导致一系列的混叠图像；第二，将每一体素的时间序列与预定义的字典进行匹配。在每个体素的时间序列中的混叠伪影与字典之间的相关性消失的前提下，具有高度相关性的原子（字典入口）是通过

理论

下面我们将会推导在一个方程里描述整个MRF实验的体系。刚开始，这看起来也许有点难处理，但是它便于推导我们提出的方法。

动态MRI信号方程

这部分描述了信号形成，这一过程假定任意图像时间序列，都可以用一个单一向量 x∈CNT 来描述，其中 N 表示体素数量， T 是时间框架数。图像时间序列有以下结构：

x=（x1,1,…,xN,1,…,x1,T,…,xN,T）′,(1)

其中  ′  表示向量转置。我们进一步让 k− 空间轨迹随着不同的 TRs 而变化。出于简便，我们假定每个 TR 中的轨迹有相同的长度 K ，这并不意味着普遍损失。观测信号可以用向量 S∈CKT 表示。使用非归一化的快速傅里叶变换（nuFFT），我们可以用简单的线性方程来表示观测过程。

S=G⋅F⋅x(2)

其中 F∈CNT×NT 是分块对角矩阵，在对角线上包含 T 个分块，每一个分块表示沿着所有考虑到的空间维度上的相同傅里叶变换（可以参见附录中的 Eq.(23) ）。考虑到 F 可以用沿着空间维度的每一帧（时间框架）的FFT来运算。网格算子 G∈CNT×NT 将笛卡尔 k− 空间数据网格化为非笛卡尔轨迹。因为网格化是一帧一帧的算子，所以 G 也是分块对角矩阵。

磁共振重建问题

MRF的关键要素是用预先计算的字典对信号进行建模，其中每个原子描述随着时间的推移的信号演化，给定一组特定的弛豫松弛参数（以及潜在的其他效应）。因此，我们可以用 δ∈CT×A 表示字典，其中 A 是字典中的原子数。在将所有原子标准化为单位 l2 范数之后，我们可以通过在估计的时间序列中找出使内积最大化的原子，来确定每个体素的 T1 和 T2 [9]。所有体素的最佳拟合原子可以合并成为具有以下结构的单个矩阵 D∈CNT×N

D=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜d1,1⋮0⋮d1,T⋮0⋯⋱⋯⋮⋯⋱⋯0⋮dN,1⋮0⋮dN,T⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟(3)

D 每一列的非零元素对应字典原子。积 DHx 是尺度因子向量，它反应了每个像素中的质子密度， 其中  H  表示埃尔米特共轭（或者共轭转置）。因此， DDHx 是由字典词条组成的图像的时间序列， 词条可以伸缩以匹配 x 。MRF通常假设全体体素的信号演变可以用字典以及完整的前向模型描述，如下

S=G⋅F⋅D⋅DH⋅x.(4)

一般的MRF重建问题可以用一下公式表述

minD,x∥G⋅F⋅D⋅DH⋅x−S∥22(5)

这两个未知数 D 和 x 是倍乘的，因而导致式[5]是一个非凸优化问题。

原始MRF重建

Ma et al.[9] 使用了两步来解决方程(5)。首先，他们使用了滤波反投影（FBP）算法来重建图像的时间序列。在式[2]的标记中，重建算法如下式所示

xBP=FH⋅GHdc⋅S,(6)

其中， GHdc 是密度补偿重网格化算子。
给定图像 xBP 的时间序列，我们用字典来决定每个像素的弛豫时间。尽管原始的MRF重建用最大相关原则来寻找最佳字典匹配，下列的 l2 范数可以等价优化为:

D=argminD∥xBP−D⋅DH⋅xBP∥22(7)

这里，每个体素（ D 的列）可以分别处理。在字典中，通过详细的搜索，原子就是在最小二乘意义上选出的与对应体素的图像序列的最优匹配。

低秩MRF重建问题

正如参考文献[24]中所示，字典可以用奇异值分解来压缩：

δ=uΣvH.(8)

字典矩阵的低秩逼近可以用下式表示

δ˜=uHR⋅δ(9)

其中 uR∈CT×R 包括酉矩阵 u 的前 R 列， R 是近似秩。从这里起，波浪字符表示与低秩逼近相关的变量。

假定 x 每个体素的图像序列可以用以字典中的一个原子来表示，则 x 可以用下式来近似

x˜=UHR⋅x(10)

其中 UR∈CNT×NR 是有下列加权等式组成的分块矩阵：

UR=⎛⎝⎜⎜u1,1⋅1⋮uT,1⋅1…⋱…u1,R⋅1⋮uT,R⋅1⎞⎠⎟⎟(11)

这里 ut,r∈C 是矩阵 u 的前 R 列， 1 是大小为 N×N 的单位矩阵。压缩后的字典矩阵 D~∈CNR×N 可以用相同的方法计算（ D~=UHR⋅D ），并且和 D 有相同的结构。与图像序列 x~∈CNR 的低秩近似一起，MRF低秩重建问题可以用下式描述：

minD~,x˜∥G⋅F⋅UR⋅D~⋅D~H⋅x˜−S∥22(12)

由 R 个相同的傅里叶矩阵组成的分块对角矩阵可以表示为 F~∈CNR×NR ，类似于 F∈CNR×NR 。 F~ 和 F 的分块对角结构与 UR 可用于证明 F~⋅UR=UR⋅F ， UR 由加权矩阵组成。正如前文提到的一样，我们通常沿着整体空间维度来执行 F~ 作为FFT的结果。通过改变傅里叶变换的阶数和奇异值压缩，FFTs的计算时间减少一个因子 R/T 。进一步地，在实际重建之前 G 和 UR 可以结合成稀疏矩阵

G~≡G⋅UR(13)

这将低秩MRF重建问题简化为

minD~,x˜∥G~⋅F~⋅D~⋅D~H⋅x˜−S∥22(14)

这一目标函数的评估需要 R 个FFT算子（对应于每一个考虑的奇异值）和稀疏矩阵-向量乘法。矩阵 G~ 将每一个生成的R个笛卡尔 k− 空间数据集合网格化到整个实验中的非笛卡尔空间轨迹上。因此，相比 G 是一帧一帧地网格化 k− 空间数据，网格化算子的计算负担以因子 R 增加。

低秩反投影

McGivney et al. [24]引入了SVD压缩用于MRF， 以减少匹配  x~  和压缩的字典的计算负担。在原始的MRF重建[9]中，他们首次提出用方程(6)来重建 xBP ，然后用方程[10]来压缩时间序列并匹配生成的 x~BP 。这一过程等价于低秩反投影

x~BP=F~H⋅G~Hdc⋅S.(15)

这一匹配过程可以由类似于方程[7]的下列的低秩案例给出。

D~BP=argminD~∥x~BP−D~⋅D~H⋅x~BP∥22.(16)

低秩倒置

一般的，像方程(6),(15)一样，滤波反投影不能解决上上述给定的逆问题。方程(6)中前向算子的逆没有约束是不可能的，因为在实际的MRF执行过程 (KT≪NT)∗ 中，它是高度降采样的。另一方面，可以使用低秩近似获得一个过定系统 (KT≥NR) ，其中 R≪T 。在推导形式上，可以直接明确地表示逆问题：

xinv~=argminx~∈CNR∥G~⋅F~⋅x˜−S∥22.(17)

这是一个线性系统，可以用共轭转置（CG）算法加以解决。这一过程搜索能够在最小二乘意义上最能描述观测信号。解决了方程[17]后，方程[16]就可用于字典匹配。

低秩交替方向乘子法

根据MRF实验和重建的具体实施情况， KT≥NR 条件可能不满足。即使是这样，对应于倒置的前向算子 G~F~ 的条件数可能很高，这使得上述方法不可行。

最近提出的用于原始MRF(13,14)的ADMM算法（23）论述了重建问题，文中通过变量分裂来解决方程[14]。这一方法可以用增广拉格朗日式来表示

{x˜ADMM,D~ADMM,y˜ADMM}=argminx˜,D~,y˜∥G~⋅F~⋅x˜−S∥22+μ∥x˜−D~D~Hx˜+y˜∥22.(18)

第一项表示数据一致性项，等价于方程[17]。第二项比较了分离后的变量 x~ 和它在字典上的投影 D~D~Hx˜ 。这里，拉格朗日乘子 y~∈CNR 表示成了可缩放的对偶形式[23]， 其中 μ 是ADMM惩罚项。

同时在它们的积空间中搜索最优的 x~ ， D~ ， y~ 是比较有挑战的非线性问题。ADMM论述这一问题通过交替解决

x˜j+1=argminx˜∥G~⋅F~⋅x˜−S∥22+μ∥x˜−D~jD~Hjx˜+y˜j∥22.(19)

D~j+1=argminD~∥x˜j+1−D~D~Hx˜j+1+y˜j∥22.(20)

y~j+1=y~j+x~j−D~j+1D~Hj+1x˜j+1.(21)

方程（19）是一个线性优化问题，可以用共轭转置算法来解决。方程（20）中的最小化可以通过在字典中对每一个体素进行详细的搜索来解决。注意到由于拉格朗日乘数，方程（20）不同于最大化相关问题，它增加到原来计算负担的2倍，然而计算复杂度依旧保持不变。拉格朗日乘子的更新（方程（21））具有用于ADDM算法(23)的标准形式，并越来越多地解决 x~j−D~jD~Hjx~j 中的这些错误， x~j−D~jD~Hjx~j 在多次迭代中保持不变。根据正则化的逆问题，方程中的拉格朗日乘数(18)可能会被考虑为不必要的。但是，为了解决方程[14]，它避免了随着j的增加（23）对 μ→+∞不断增加 \mu$的必要性。最终，它加速了收敛的ADMM算法。

方程[18]中的优化问题是非凸的，以致算法的收敛性取决于初始推测（13）。这里我们用 x˜0=0 ， (D~D~H)0=1 ， y˜0=0 来初始化算法。请注意 (D~D~H)0=1 并不是由字典描述的，并被选用在第一次迭代的时候将方程（18）变换为方程（17）.在关于反演的良态 G~F~ 的限制下，一次ADMM迭代就可以解决MRF重建问题。在轻度病态方程(17)的情况下，我们期望第一次的ADMM迭代能够很好地逼近解，从而得到良好的收敛性。情况并非如此，而是数据的一致性是高度病态的，包括例子，如参考文献（13,14）中所使用的那样，它是欠定的。

灵敏度编码

并行成像[25]有助于进一步提高重建的条件，此时，共轭转置灵敏度编码（SENSE）[26]用于重新表示数据一致性项：

{x˜ADMM,D~ADMM,y˜ADMM}=argminx˜,D~,y˜∑c∥G~⋅F~⋅E~c⋅x˜−Sc∥22+μ∥x˜−D~D~Hx˜+y˜∥22.(22)

在傅里叶变换之前， 用对角矩阵 E~c∈CNR×NR 乘以搜索向量 x˜ ，然后与线圈观测的信号 Sc 进行比较，其中 E~c 包含线圈 c 灵敏度分布 R 个重复。全体线圈元素的和提供了总体的数据一致性项的代价。注意到SENSE也可以以同样的方式合并到低秩倒置(方程（17）)中。

方法

本着可重复研究的精神，所提出的算法的源代码可以在以下网址找到源代码网址。

仿真

所有的仿真都是在参考文献14中描述的伪随机稳态自由进动（bSSFP）模式下进行的。翻转角组合在图1a中显示，它是由RF脉冲后跟一个反转脉冲组成的，其中RF脉冲具有具有变化的翻转角，并且连续的脉冲间有一个值为 π 的相位增加。

图像重建

根均方误差

噪声分析

灵敏度编码

活体实验

结果

仿真

重建 R=5

重建 R=20

灵敏度编码

活体实验

结论

讨论

本文中提出了一种MRF重建框架，它以两种不同的方式结合数据模型。信号演变的低秩逼近是在字典矩阵的奇异值分解的基础上计算的。此外，匹配到的最优字典词条被用来约束每个体素内的信号演变。然后使用交替乘子法来加速优化信号演变的低秩逼近，以及信号演变在字典上的投影。产生的定量图谱表明相比原始的磁共振指纹重建方法，本方法有更小的误差和更高的信噪比，原始方法仅使用低秩逼近和ADMM算法，ADMM算法是在时间域而不是低秩空间进行的。该算法是MRF的一般重构框架，可以很容易地应用即插即用并行传输[10]和化学交换MRF-X[36]等等。

附录

f傅里叶变换与压缩矩阵的计算
为了证明 F~⋅UR=UR⋅F ， 我们将 F 表示为 N×N 的分块矩阵，在它的主对角线上包含傅里叶变换矩阵 f∈CN×N ，其余位置都是 0 矩阵：

F=⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜f0⋮00f⋱⋯⋯⋱⋱0000f⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟.(23)

结合方程(11)中的标记， UR 和 F 的积可以写成：

UR⋅F=⎛⎝⎜⎜u1,1⋅1⋅f⋮u1,R⋅1⋅f⋯⋱⋯u1,1⋅1⋅f⋮uT,R⋅1⋅f⎞⎠⎟⎟.(24)

如果我们将 F~ 表示为 R×R 的分块对角矩阵，主对角线上为同一个矩阵 f ， 我们可以等价的表示为

F~⋅UR=⎛⎝⎜⎜f⋅u1,1⋅1⋮f⋅u1,R⋅1⋯⋱⋯f⋅uT,1⋅1⋮f⋅uT,R⋅1⎞⎠⎟⎟.(25)

由于标量 ut,r 和单位矩阵 1 总是通勤， (24)，(25)可以合并产生

F~⋅UR=UR⋅F.(26)