【题解】分离与合体

题目

题目描述

经过在机房里数日的切磋，LYD 从杜神牛那里学会了分离与合体，出关前，杜神牛给了他一个测试……

杜神牛造了$n$个区域，他们紧邻着排成一行，编号 $1\dots n$。在每个区域里都放着一把 OI 界的金钥匙，每一把都有一定的价值，LYD 当然想得到他们了。然而杜神牛规定 LYD 不能一下子把他们全部拿走，而是每次只可以拿一把。为了尽快得到所有金钥匙，LYD 自然就用上了刚学的分离与合体特技。

一开始 LYD 可以选择 $1\dots n-1$ 中的任何一个区域进入，我们不妨把这个区域记为 kk。进入后 LYD 会在 $k$区域发生分离，从而分离成两个小 LYD。分离完成的同时会有一面墙在 $k$区域和 $k+1$区域间升起，从而把 $1\dots k$和 $k+1\dots n$阻断成两个独立的区间，并在各自区间内任选除区间末尾之外（即从 $1\dots k-1$ 和 $k+1\dots n-1$中选取）的任意一个区域再次发生分离，这样就有了四个小小 LYD……重复以上所叙述的分离，直到每个小 LYD 发现自己所在的区间只剩下了一个区域，那么他们就可以抱起自己梦寐以求的 OI 金钥匙。

但是 LYD 不能就分成这么多个个体存在于世界上，这些小 LYD 还会再合体，合体的小 LYD 所在区间中间的墙会消失。合体会获得 ((合并后所在区间左右端区域里金钥匙价值之和)×(之前分离的时候所在区域的金钥匙价值))。

例如，LYD 曾在 $1\dots 3$ 区间中的 22 号区域分离成为 $1\dots 2$ 和 $3\dots 3$ 两个区间，合并时获得的价值就是 (( $1$号金钥匙价值 $+3$号金钥匙价值)×( $2$ 号金钥匙价值))。

LYD 请你编程求出最终可以获得的最大总价值，并按照分离阶段从前到后，区域从左到右的顺序，输出发生分离区域编号。若有多种方案，选择分离区域尽量靠左的方案（也可以理解为输出字典序最小的）。

例如先打印一分为二的区域，然后从左到右打印二分为四的分离区域，然后是四分为八的……

输入

第一行一个正整数$n$.

第二行$n$个用空格分开的正整数$a_i$ ，表示$1\dots n$区域里每把金钥匙的价值。

输出

第一行一个数，表示获得的最大价值

第二行按照分离阶段从前到后，区域从左到右的顺序，输出发生分离区域编号。若有多种方案，选择分离区域尽量靠左的方案（也可以理解为输出字典序最小的）。

输入样例

7
1 2 3 4 5 6 7

输出样例

238
1 2 3 4 5 6

提示

数据范围与提示：

对于 $20\%$ 的数据，$n\le 10$；

对于 $40\%$ 的数据，$n\le 50$；

对于 $100\%$ 的数据，$n,a_i\le 300$，保证运算过程和结果不超过$32$位正整数范围。

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题解

先来手推一下这个极水样例：

这是分裂的步骤：

接下来开始合并：

可以发现合并和分裂是互逆的(废话),那么这意味着当我们确定唯一的由单个区间合并的方法后，此时分裂的方法也是唯一确定的，也就是说我们只需求出最优的合并方法，它所对应的分裂方法也就一定是最优的

废话说完了现在让我们来考虑如何合并是最优的，这不就是区间DP的裸题吗？那么我们设dp[i][j]表示合并$[i,j]$可以获得的最大价值，考虑转移：
在$[i,j]$中枚举$k$,表示[i,j]这个区间要由$[i,k]$和$[k+1,j]$合并而来，如果这样合并，产生的价值也就是(a[i]+a[j])*a[k],再加上$[i,k]$和$[k+1,j]$原有的价值，就是dp[i][k]+dp[k+1][j]+(a[i]+a[j])*a[k],与$dp[i][j]$比较，取$max$即可

其实这里大家都很容易想到，主要是输出的问题

想想线性dp中我们是怎样保存路径的，不就是用一个数组存储dp[i]是由那个推出来的吗？到时输出的时候就可以知道每一个最优解是怎么推的，也就可以递归的求出路径了。那线性dp是由之前的推出,所以存储推出它的是什么。区间dp是由小区间推出，不就应该存储小区间的信息吗，在这道题中，大区间由两个小区间推出，决定这两个小区间的就是那个分裂点$k$. $SO$,令$m[i][j]$表示区间$[i,j]$由小区间$[i,k]$和$[k+1,j]$合并而来为最优,这样就可以知道$[1,n]$怎么分最优，也就是第一次分裂，同理的可以知道$[1,k]$和$[k+1,n]$怎么分最优，这就是第二次分裂…

注意题目的要求是

先打印一分为二的区域，然后从左到右打印二分为四的分离区域，然后是四分为八的……

也就是说我们要左一个，右一个的输出(不知道你们能不能理解我的意思)，不妨把每次分裂的节点看作树的节点，最后就可以形成一个二叉树(我也想知道是什么二叉树)，我们应对它逐层遍历，看图理解吧

如上图，表示一个n=7的序列，上图表达的分裂顺序为：
(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)
(1, 2, 3)(4, 5, 6, 7)
(1)(2, 3)(4, 5)(6, 7)
(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)

对这棵树逐层遍历即可(迭代加深和BFS均可)

AC代码:

#include
#include
using namespace std;
const int MAXN=305;
int a[MAXN];
int dp[MAXN][MAXN];
int bb[MAXN][MAXN]; 
int vis[MAXN][MAXN];
void gg(int i,int j,int dep){
	if(i==j) return;
	if(dep==0) return;
	if (!vis[i][j]) {
		printf("%d ",bb[i][j]);
		vis[i][j]=1;
	}
	gg(i,bb[i][j],dep-1);
	gg(bb[i][j]+1,j,dep-1);
}
int main(){
	int n;
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		dp[i][i]=0;
	}
	for(int len=2;len<=n;len++){
		for(int i=1;i<=n-len+1;i++){
			int j=i+len-1;
			for(int k=i;k<j;k++){
				if(dp[i][k]+dp[k+1][j]+(a[i]+a[j])*a[k]>dp[i][j]){
					dp[i][j]=dp[i][k]+dp[k+1][j]+(a[i]+a[j])*a[k];
					bb[i][j]=k;
				}
			}
		}
	}
	printf("%d\n",dp[1][n]);
	for (int i=1;i<=n;i++){
		gg(1,n,i);
		
	}
return 0;
}