从时间、空间角度聊聊排序算法

1、排序算法的介绍 

排序也称排序算法(SortAlgorithm)，排序是将一组数据，依指定的顺序进行排列的过程。 

2、排序的分类

1) 内部排序:

指将需要处理的所有数据都加载到内部存储器中进行排序。

2) 外部排序法：

数据量过大，无法全部加载到内存中，需要借助外部存储进行排序。

3) 常见的排序算法分类(见右图):

3、 算法的时间复杂度 

        度量一个程序(算法)执行时间的两种方法：

1) 事 后统计的方 法
这种方法可 行 , 但 是有两个 问题 ： 一是要想对设计的算法的运行性能进行评测 ， 需要 实 际运 行该程序； 二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因 素 , 这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较那个算法 速 度更快 。

 

2) 事前估 算的方 法
通过分析某个算法的 时间复杂度 来判断哪个算法更优。

 

 

时间频度：

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

例如：

计算1-100所有数字之和, 我们设计两种算法：

 

在时间频度中，对于常数项，我们用下面列子说明：

	T(n)=2n+20	T(n)=2*n	T(3n+10)	T(3n)
1	22	2	13	3
2	24	4	16	6
5	30	10	25	15
8	36	16	34	24
15	50	30	55	45
30	80	60	100	90
100	220	200	310	300
300	620	600	910	900

 

在时间频度中，对于低次项，我们用下面列子说明：

	T(n)=2n^2+3n+10	T(2n^2)	T(n^2+5n+20)	T(n^2)
1	15	2	26	1
2	24	8	34	4
5	75	50	70	25
8	162	128	124	64
15	505	450	320	225
30	1900	1800	1070	900
100	20310	20000	10520	10000

 

 

在时间频度中，对于系数，我们用下面列子说明：

	T(3n^2+2n)	T(5n^2+7n)	T(n^3+5n)	T(6n^3+4n)
1	5	12	6	10
2	16	34	18	56
5	85	160	150	770
8	208	376	552	3104
15	705	1230	3450	20310
30	2760	4710	27150	162120
100	30200	50700	1000500	6000400

 

 

    时间复杂度

1)    一 般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模 n 的某个函数，用 T(n) 表示，若有某个辅助函数 f(n) ，使得当 n 趋近于无穷大时， T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称 f(n) 是 T(n) 的同数量级函数。记作 T(n)= Ｏ ( f(n) ) ，称Ｏ ( f(n) )  为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度 。

 

2)    T(n ) 不同，但时间复杂度可能相同。 如： T(n)= n²+7n+6 与 T(n)= 3n²+2n+2 它们的 T(n)  不同，但时间复杂度相同，都为 O(n²) 。

 

3)    计 算时间复杂度的方 法：

 

• 用常数 1 代替运行时间中的所有加法常数  T(n)=n²+7n+6  => T(n)= n²+7n+1

 

• 修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项  T(n)= n²+7n+1 => T(n) = n²

 

• 去除最高阶项的系 数 T(n) = n² => T(n) = n² => O( n² )

 

 

常见的时间复杂度

1)常数阶O(1)

无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)，例如：

上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

 

2)对数阶O(log2n)

在while循环里面，每次都将 i 乘以 2，乘完之后，i 距离 n 就越来越近了。假设循环x次之后，i 就大于 2 了，此时这个循环就退出了，也就是说 2 的 x 次方等于 n，那么 x = log2n也就是说当循环 log2n 次以后，这个代码就结束了。因此这个代码的时间复杂度为：O(log2n)  。 O(log2n) 的这个2 时间上是根据代码变化的，i = i * 3 ，则是 O(log3n) 。

 

3)线性阶O(n)

这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度。

 

4)线性对数阶O(nlog2n)

线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)。

 

5)平方阶O(n^2)

平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(n*n)，即  O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(m*n)。

 

6)立方阶O(n^3)

参考上面的O(n²) 去理解就好了，O(n³)相当于三层n循环，其它的类似。

 

7)k次方阶O(n^k)

8)指数阶O(2^n)

 

时间复杂度大小比较如下图：

说明：

 

 

 

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

1)平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。

2)最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。

3)平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

 

相关术语解释：

稳定：如果a原本在b前面，而a=b，排序之后a仍然在b的前面。

不稳定：如果a原本在b的前面，而a=b，排序之后 a 可能会出现在 b 的后面。

内排序：所有排序操作都在内存中完成。

外排序：由于数据太大，因此把数据放在磁盘中，而排序通过磁盘和内存的数据传输才能进行。

n: 数据规模

k: “桶”的个数

In-place:    不占用额外内存

Out-place: 占用额外内存

 

4、算法的空间复杂度

1)类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。

2)空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况

3)在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.