高数知识点整理——有理分式的不定积分（多项式的除法）

有理分式的不定积分

1. 定义：$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{a_x{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0}{b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\dots +b_{1}x+b_0}$

   $\{\begin{array}{l}若n\ge m;称为有理假分式\\ 若n\le m;称为有理真分式\end{array}$

   $通过多项式除法可以将有理假分式转化为一个多项式与有理真分式之和$
   $【因为对多项式求不定积分是我们比较熟悉的内容，因此可以将复杂的有理假分式求不定积分转化为形式较为简单的多项式求不定积分与有理真分式求不定积分】$

2. $有理真分式积分步骤：$
   $1)分母因式分解（形式复杂的分母形式可以通过试根进行分解）$
   $2)将分母分解成为不可约的一次因式或二次（多次）因式$
   $[一次因式:(x-a);(x-a{)}^2\dots （x-a{)}^{\lambda }]$
   $[二次因式：(x^2+px+q{)}^{\lambda }]$
   $3)确定待定系数$

例1：$求\int \frac{x^3+2}{x+2}dx$

$解：$

【应用多项式除法进行分解】：

                             $x^2-2x+4$
$(x+2)\sqrt{x^3+0x^2+0x+2}$
                 $x^3+2x^2$
                       $-2x^2+0x$
                          
                        $-2x^2-4x$                        
                                       $4x+8$
                                              $-6$

$\int \frac{x^3+2}{x+2}dx$ =$\int [（x^2-2x+4)-\frac{6}{x+2}]dx$ $$=\frac{1}{3}{x}^3-x^2+4x-6ln|x+2|+C$$

例2： $求不定积分\int \frac{x+1}{x^3-2x^2+2x}dx$.

$解：\int \frac{x+1}{x^3-2x^2+2x}dx=\int \frac{x+1}{x(x^2-2x+2)}dx=\int \frac{A}{x}dx+\int \frac{B_{1}x+B_2}{x^2-2x+2}dx$
$$=\int \frac{A{x}^2-2Ax+2A-B_1{x}^2+B_{2}x}{x(x^2-2x+2)}dx$$

$令原式\int \frac{x+1}{x^3-2x^2+2x}dx=\int \frac{A{x}^2-2Ax+2A-B_1{x}^2+B_{2}x}{x(x^2-2x+2)}dx$
$\Rightarrow 可以得到方程：\{\begin{array}{l}A-B_1=0\\ -2A+B_2=1\\ 2A=1\end{array}$
$\Rightarrow 求得：\{\begin{array}{l}A=\frac{1}{2}\\ B_1=-\frac{1}{2}\\ B_2=2\end{array}$

$\therefore \int \frac{x+1}{x^3-2x^2+2x}dx=\int \frac{\frac{1}{2}}{x}dx+\int \frac{-\frac{1}{2}x+2}{x^2-2x+2}dx=$ $\frac{1}{2}\int \frac{1}{x}dx$$-\frac{1}{2}\int \frac{x-4}{x^2-2x+2}dx$
$$=\frac{1}{2}ln|x|-\frac{1}{4}\int \frac{2x-2}{x^2-2x+2}dx+\frac{3}{2}\int \frac{1}{1+{(x-1)}^2}dx$$
$$=\frac{1}{2}ln|x|-\frac{1}{4}\int \frac{(2x-2)dx}{x^2-2x+2}+\frac{3}{2}\int \frac{1}{1+{(x-1)}^2}d(x-1)$$
$$=\frac{1}{2}ln|x|-\frac{1}{4}ln|x^2-2x+2|+\frac{3}{2}arctan(x-1)+C$$

【当然，在遇到有理分式时，采用多项式除法求积分相对繁琐对一些熟悉的分式可以直接采取配平的方式求解。】

例如：$\int \frac{2x+3}{x^2+3x-10}dx$可以直接进行未分配平

$\int \frac{2x+3}{x^2+3x-10}dx$=$\int \frac{(2x+3)dx}{x^2+3x-10}$=$\int \frac{d(x^2+3x-10)}{x^2+3x-10}$=$ln|x^2+3x-10|$