数值计算基础（上溢下溢、梯度优化、牛顿法、KKT方法）

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上溢和下溢

病态条件

基于梯度的优化方法

KKT 方法

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上溢和下溢

• 上溢：当大量级的数字被近似为  时发生上溢，进一步计算会导致这些无限值变为非数字
• 下溢：当接近零的数字被四舍五入为零时发生下溢

病态条件

条件数，表示函数相对于输入的微小变化而变化的快慢程度。

如果条件数大，有可能造成输入的舍入误差造成输出巨大变化。

函数  ，当  为  时具有特征值分解，条件数表示为：

基于梯度的优化方法

梯度是相对一个向量求导的导数， 的导数是包含所有偏导数的向量，记为  。

方向导数是在某方向上的斜率。

梯度下降是将  往导数的反方向移动一小步以降低损失函数。

当目标函数满足凸函数的时候，梯度下降收敛的值是全局最小值，但是在深度学习的背景下，即使找到的解不是真正最小的，但是只要它们对于损失函数显著低，就可以接受。

若有一函数  ，则  的 Jacobian 矩阵定义为：

对函数求二阶导数时，若导数有很多，可将其合并成一个 Hessian 矩阵，等价于梯度的 Jacobian 矩阵：

牛顿法，基于一个二阶泰勒展开来近似  附近的  ：

仅使用梯度的优化算法被称为一阶优化算法。

使用 Hessian 矩阵的优化算法被称为二阶优化算法。

Lipschitz 连续，表示为：

KKT 方法

拉格朗日乘子法只允许等式约束。

KKT 方法是拉格朗日乘子法的推广，存在等式和不等式约束。

Karush-Kuhn-Tucker（KKT）是一种优化在约束条件下求  的最大值或者最小值的方法。

 为原优化函数， 为等式约束， 为不等式约束，引入 KKT 乘子，广义拉格朗日函数定义为：

原问题转换为对偶问题， 。

最优点满足以下必要条件：

1. 满足  的梯度为零
2. 满足所有关于  和 KKT 乘子的约束条件
3. 满足 

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