ACM算法总结 数论（二）

原根

若$(a,m)=1$，使得$a^x\equiv 1(modm)$ 成立的最小的$x$，称为$a$关于模$m$的阶，记为$or{d}_{m}a$ 。

• 若$or{d}_{m}a=x$，则 $or{d}_m{a}^t=\frac{x}{(t,x)}$ ；
• $or{d}_{m}a|\phi (m)$ ；

若$(g,m)=1$，且$or{d}_{m}g=\phi (m)$，则$g$为$m$的一个原根。

• 若$m$有原根，则$m$满足下述形式：$2,4,p^a,2p^a$，其中$p$为奇素数，$a$为正整数；
• 若$g$为$m$的一个原根，则集合$S=\{g^s|1\le s\le \phi (m),(s,\phi (m))=1\}$构成$m$的所有原根；
• 设$p_1,p_2,...,p_k$为$\phi (m)$所有不同的质因子，$(g,m)=1$，且对于任意$1\le i\le k$，有$g^{\frac{\phi (m)}{p_i}}\not\equiv 1(modm)$ ，则$g$为$m$的原根。

质因数分解

质因数分解，$p,k$分别表示分解后的质因数和对应的幂。

void prime_fac(int x,VI &p,VI &k)
{
    for(int i=2;i*i<=x;i++)
        if(x%i==0)
        {
            p.push_back(i);
            int q=0;
            while(x%i==0) q++,x/=i;
            k.push_back(q);
        }
    if(x>1) p.push_back(x),k.push_back(1);
}

卢卡斯定理（Lucas）

若$p$为素数，则 $C_n^m\%p=C_{n/p}^{m/p}\cdot C_{n\%p}^{m\%p}\%p$ 。常用于大数小模数的组合数计算。

LL lucas(LL n,LL m,LL p) //卢卡斯定理(p是素数)
{
    if(!m) return 1;
    return C(n%p,m%p)*lucas(n/p,m/p)%p;
}

扩展卢卡斯定理（exLucas）：

对于$p$不是素数的情况，首先进行质因数分解，然后对每一块分别求答案之后用CRT合并答案。

每一块虽然不一定是质数（是质数的幂），但是通过阶乘变形可以找到规律然后递归求解。

...（pit）

数论分块

用于求解 ${\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 。

核心思想是对于任意的$i$，找到最大的$j$，使得$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor =\lfloor \frac{n}{j}\rfloor$ ，可以证明 $j=\lfloor \frac{n}{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }\rfloor$ 。所以可以在$O(\sqrt{n})$ 的时间内求解。

对于多个取整相乘同时分块的话（比如 ${\sum }_{i=1}^n\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \lfloor \frac{m}{i}\rfloor$），显然每次的 $j$ 就取最小那个。

int cal(int n)
{
    int ans=0;
    for(int l=1,r=0;l<=n;l=r+1)
    {
        r=n/(n/l);
        ans+=(r-l+1)*(n/l);
    }
    return ans;
}

莫比乌斯反演

莫比乌斯函数定义：
$$\mu (n)=\{\begin{array}{lr}1,& n=1\\ 0,& n有平方因子\\ (-1{)}^k,& k为n的质因子个数\end{array}$$
线性筛法：

int mu[maxn],prime[maxn],cnt;
bool book[maxn];

void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!book[i]) prime[cnt++]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=0;j

狄利克雷卷积：设$f(n),g(n)$为积性函数，则 $f\ast g={\sum }_{d|n}f(d)g(\frac{n}{d})$ 。

• 常见积性函数： $\mu ,\phi ,I,ϵ,id,d,\sigma$ 。
• $f\ast ϵ=f$ ；
• $\mu \ast I=ϵ$ 等价于 ${\sum }_{d|n}\mu (d)=[n=1]$ ；
• $\phi \ast I=id$ 等价于 ${\sum }_{d|n}\phi (d)=n$ ；
• 由上面两条可以推出 $\phi =id\ast \mu$ ，即 $\phi (n)={\sum }_{d|n}d\mu (\frac{n}{d})$ ；

反演定理：若 $F(n)={\sum }_{d|n}f(d)$ ，则 $f(n)={\sum }_{d|n}\mu (d)F(\frac{n}{d})$ 。（运用卷积很好证明）

另一种形式：若 $F(n)={\sum }_{n|d}f(d)$ ，则 $f(n)={\sum }_{n|d}\mu (\frac{d}{n})F(d)$ 。(pit）

杜教筛

用于求解数论函数的前缀和，在线性筛预处理前面一些项之后，复杂度一般是 $O(n^{\frac{2}{3}})$ 。

比如说要求解 $S(n)={\sum }_{i=1}^{n}f(i)$ ，套路就是找到好求解的 $h=g\ast f$ ，可以演变为：

​ $g(1)S(n)={\sum }_{i=1}^n(f\ast g)(i)-{\sum }_{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$

于是可以递归+数论分块求解。

常用函数前缀和：

• 莫比乌斯函数：$\mu \ast I=ϵ$ ，则 $S(n)=1-{\sum }_{i=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$ ;
• 欧拉函数：$\mu \ast I=id$ ，则 $S(n)=\frac{n(n+1)}{2}-{\sum }_{i=2}^{n}S(\lfloor \frac{n}{i}\rfloor )$ ；

威尔逊定理

一个自然数 p 是素数，当且仅当 $(p-1)!\equiv -1(modp)$ 。