学习笔记：二分法

一直以来对二分法真的很懵逼……还是必须得系统地整理学习一下啊T_T 持续更新补题修改中……

了解二分法

对于二分来说，我们可以分为两类：
1、整数域上的二分
2、实数域上的二分

但是总的二分的条件都是一样的：需要序列具有单调性。

整数域上的二分

分三步 (其中mid最好是>>1 而不是/2, 因为>>1 是向下取整，而/2是向0取整，在负数时很有用

（1）通过分析具体问题，确定左右半段哪一个是可行区间，以及mid归属那一半段。

（2）根据分析结果，选择“r=mid, l=mid+1, mid=(l+r)>>1” 和 “l=mid, r=mid-1, mid=(l+r+1)>>1”两个配套形式之一。

（3）二分终止条件是l==r, 该值就是答案所在位置。

（一定要注意区间的选择，区间[0,n] 和 [1,n+1] 这两个不能够乱用 ，0和n+1 都是越界下标，只有在特定情境下若没有找到才会等于越界下标）

例子：

在单调递增序列a中查找>=x的数中的最小的一个：

while(l<r)
{
   int mid=(l+r)>>1;
   if(a[mid]>=x) r=mid;
   else l=mid+1;  
}
return a[l];

在单调递增序列a中查找<=x的数中的最大的一个：

while(l<r)
{
    int mid=(r+l+1)>>1;
    if(a[mid]<=x) l=mid; else r=mid-1;
}
return a[l];

实数域上的二分

(重点是精度的确定)

在实数域上的二分很简单，重要的是确定好所需的精度eps，以l+eps

while(l+1e-5<r)
{
    double mid=(l+r)/2;
    if(calc(mid)) r=mid;else l=mid;
}

有时精度不容易确定或者表示，就干脆采用循环固定次数的二分方法，也是一种相当不错的策略。这种方法得到的结果的精度通常比设置eps更高。 ----摘自《算法竞赛进阶指南》

for(int i=0;i<100;i++)
{
    double mid=(l+r)/2;
    if(calc(mid)) r=mid;else l=mid;
}

二分查找

思路：
在一个不严格单调的有序集合中，我们如果要查找一个元素的位置，可以用l来存储下界，用r来存储上界，然后将整个集合分成两半，通过对集合中间元素与目标元素的比较，来判断目标元素是在集合中的左半部分还是右半部分（如果中间元素与目标元素相同，则退出函数，返回中间元素的位置），随后更新上界和下界。不断进行这样的操作，直至l>r为止。

//这里以在一个不严格单调递增数组中查找元素为例
int find(int l,int r,int v)//l存储上界，r存储下界，v即为目标元素
{
    if(l>r) return -1;//如果找不到就返回-1
    int mid=(l+r)>>1;//mid即为中间元素的位置，这里用位运算提高效率，相当于"int mid=(l+r)/2;"
    //对中间元素与目标元素进行比较
    if(sum[mid]==v) return mid;//中间元素与目标元素相同，则退出函数，返回中间元素的位置
    else if(sum[mid]>v) find(l,mid-1);//中间元素大于目标元素，将上界更新为中间元素的位置-1
    else find(mid+1,r);//中间元素小于目标元素，将下界更新为中间元素的位置+1
}

最简单的二分查找

在a[n]单调递增无重复数组里找x，存在则返回其下标，否则输出-1

#include 
using namespace std;
int n, x, a[100010];
int binary_search(int* a, int n, int x){ // 闭区间
	int ans = -1;
	int l=0, r=n-1;
	while(l <= r){
		int m = l + ((r-l)>>1);
		if(a[m]==x){
			ans = m;
			break;
		}
		if(a[m]<x){
			l=m+1;
		}else{
			r=m-1;
		}
	}
	return ans;
}
int main(){
	cin >> n >> x;
	for(int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
	int ans = binary_search(a, n, x);
	cout << ans << endl;
	return 0;
}

C++ STL提供了两个特别好用的函数：lower_bound()和upper_bound()。

lower_bound()：

假设a是一个数组，n是数组长度，lower_bound(a, a+n, x)返回数组a[0]~a[n-1]中，大于等于x的数中，最小的数的指针。由于指针可以通过加减算偏移量，所以我们再减去a(数组名会被隐式转换成指针)，就得到了相应的下标。我们看一下下面的例子，假设我们在a数组中找3这个数。

upper_bound()：

同样假设a是一个数组，n是数组长度，upper_bound(a, a+n, x)返回数组a[0]~a[n-1]中，大于x的数中，最小的数的指针。注意lower_bound是“大于等于”，upper_bound是“大于”。我们看一下下面的例子，假设我们在a数组中找3这个数。

举例:

#include 
#include 
using namespace std;
int main(){
	int a[10] = {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4};
	int n = 10;
	for(int i=0; i<=5; i++){
		int* lower = lower_bound(a, a+n, i);
		int* upper = upper_bound(a, a+n, i);
		cout << lower-a << " " << upper-a << endl;
	}
/*
0 0
0 1
1 3
3 6
6 10
10 10
*/

另外lower_bound和upper_bound的前两个参数是其实是待查范围的首尾指针(左闭右开区间，不包括尾指针)，所以也可以写别的参数。比如下面的程序就是从a[1]开始查找：

#include 
#include 
using namespace std;
int main(){
	int a[10] = {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4};
	int n = 10;
	for(int i=0; i<=5; i++){
		int* lower = lower_bound(a+1, a+n, i);
		int* upper = upper_bound(a+1, a+n, i);
		cout << lower-a << " " << upper-a << endl;
	}
}
/*
1 1
1 1
1 3
3 6
6 10
10 10
*/

lower_bound和upper_bound除了能用在数组上，还可以用在vector上。我们知道vector就相当于一个可以长度可变的数组。当用于vector上时，需要注意前两个参数必须是vector的迭代器，同时函数的返回值也是迭代器：

#include 
#include 
using namespace std;
int main(){
	int a[10] = {1,2,2,3,3,3,4,4,4,4};
	vector<int> b(a, a+10);
	int n = 10;
	for(int i=0; i<=5; i++){
		vector<int>::iterator lower = lower_bound(b.begin(), b.end(), i);
		vector<int>::iterator upper = upper_bound(b.begin(), b.end(), i);
		cout << lower-b.begin() << " " << upper-b.begin() << endl;
	}
	return 0;
}
/*
0 0
0 1
1 3
3 6
6 10
10 10
*/

注意my_lower_bound和C++STL自带的lower_bound有区别，my_lower_bound的第一个参数是一个数组，第二个参数是数组长度，第三个参数是待查找的值；它的返回值是“大于等于x的数中，最小的数的下标“，另一个等价的说法是“假设在a数组中插入x，并保持插入后仍然有序，最小的合法插入下标”。实现:

#include 
using namespace std;
int n, x, a[100010];
int my_lower_bound(int a[], int n, int x){
	int ans = n;
	int l=0, r=n-1;
	while(l<=r){
		int m = l + ((r-l)>>1);
		if(a[m]>=x){
			ans = m;
			r = m-1;
		}else{
			l = m+1;
		}
	}
	return ans;
}
int main(){
	cin >> n >> x;
	for(int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
	int lower = my_lower_bound(a, n, x);
	cout << lower << endl;
	return 0;
}

以上是my_lower_bound的代码，如果我们要实现my_upper_bound的代码，其实也很容易。my_lower_bound是找“大于等于x的数中，最小的数的下标“，所以是if(a[m] >= x)。
my_upper_bound是找“大于x的数中，最小的数的下标“，所以只需要把f(a[m] >= x)改成if(a[m]>x)即可。

#include 
using namespace std;
int n, x, a[100010];
int my_upper_bound(int a[], int n, int x){
	int ans = n;
	int l=0, r=n-1;
	while(l<=r){
		int m = l + ((r-l)>>1);
		if(a[m]>x){
			ans = m;
			r = m-1;
		}else{
			l = m+1;
		}
	}
	return ans;
}
int main(){
	cin >> n >> x;
	for(int i=0; i<n; i++) cin >> a[i];
	int lower = my_upper_bound(a, n, x);
	cout << lower << endl;
	return 0;
}

二分答案

应用前提：

二分答案要求满足条件的答案单调
否则你就不能确定下一次查找答案所在的区间

基本思想：

在答案可能的范围内[L,R]二分查找答案，检查当前答案是否满足题目的条件要求，根据判断结果更新查找区间

可以发现，二分查找是——答案所在区间为有序线性表的第一个元素到最后一个，条件为要找的那个值的二分答案。

答案的单调性：

答案的单调性大多数情况下可以转化为一个函数，其单调性证明多种多样，如下：
移动石头的个数越多，答案越大（NOIP2015跳石头）。
前i天的条件一定比前 i + 1 天条件更容易（NOIP2012借教室）。
满足更少分配要求比满足更多的要求更容易（NOIP2010关押罪犯）。
满足更大最大值比满足更小最大值的要求更容易（NOIP2015运输计划）。
时间越长，越容易满足条件（NOIP2012疫情控制）。

可以解决的问题：
求最大的最小值（NOIP2015跳石头）。
求最小的最大值（NOIP2010关押罪犯）。
求满足条件下的最小（大）值。
求最靠近一个值的值。
求最小的能满足条件的代价。

模板

 int l=1,r=ll;// 1 是答案的最小值，ll是答案的最大值
    while(l<=r)
    {
        int mid=(l+r)>>1,q=check(mid);//“>>1”相当于“/2”
        if(q>m)r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }

参考链接：
https://blog.csdn.net/qq_35937273/article/details/82811597
https://blog.csdn.net/Mashiro_ylb/article/details/78469151
https://blog.csdn.net/qq_41157137/article/details/84074341
https://blog.csdn.net/chenxiaoran666/article/details/79937502
https://blog.csdn.net/weixin_39778570/article/details/80833217