[网络流] 网络流(23/24)题题解集合

题解合集，题目来源于本校题库。
如果想要原题或SPJ，可以向[email protected]发邮件。
学校题库上的要求可能与原题不同，我将标注出来，并以本校题库为主。
注：所有最大流的实现均为Dinic算法，费用流的实现均为Edmonds Karp算法，连边均为有向边。

1、飞行员配对方案问题

裸二分图匹配，可以直接Hungary算法。也可以上最大流。
建立源点$S$和汇点$T$，$S$向所有外籍飞行员连流量为$1$的边，所有外籍飞行员向能与之配对的英国飞行员连流量为$1$的边，所有英国飞行员向$T$连流量为$1$的边，跑$S$到$T$的最大流。答案即为最大流。
本校题库并未要求输出方案。Hungary输出result数组，最大流跑一边满流边即可。时间复杂度为$O(ne)$（Hungary）或$O(n\sqrt{e})$（Dinic）。
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2、太空飞行计划问题

最大权闭合图问题。转化为最小割问题。然后根据最大流=最小割，即为求最大流问题。
建立源点$S$和汇点$T$，$S$向每个实验连流量为该实验收益的边，每个实验向对应的仪器连流量为无穷大的边，每个仪器向$T$连流量为仪器花费的边。答案为所有实验花费减去$S$到$T$的最大流。
下面是正确性解释（By Byvoid）：

定义一个割划分出的S集合为一个解，那么割集的容量之和就是(未被选的A集合中的顶点的权值 + 被选的B集合中的顶点的权值)，记为Cut。A集合中所有顶点的权值之和记为Total，那么Total - Cut就是(被选的A集合中的顶点的权值 - 被选的B集合中的顶点的权值)，即为我们的目标函数，记为A。要想最大化目标函数A，就要尽可能使Cut小，Total是固定值，所以目标函数A取得最大值的时候，Cut最小，即为最小割。

原题要求输出实验方案，本校题库未要求输出。方案即为$S$的最大流路径上的点。时间复杂度$O((n+m{)}^{2}e)$。
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3、最小路径覆盖问题

题干说的什么玩意，最后求一个最大流…
对于原图的每一个点拆成两个点$x,y$，$x,y$之间连流量为无穷大的边，建立源点$S$和汇点$T$，$S$向每个$x$连接流量为$1$的边，每个$y$向$T$连接流量为$T$的边，跑$S$到$T$的最大流。答案为原图点数减最大流。
下面为正确性解释（By Byvoid）：

对于一个路径覆盖，有如下性质：
1、每个顶点属于且只属于一个路径。
2、路径上除终点外，从每个顶点出发只有一条边指向路径上的另一顶点。
所以我们可以把每个顶点理解成两个顶点，一个是出发，一个是目标，建立二分图模型。该二分图的任何一个匹配方案，都对应了一个路径覆盖方案。如果匹配数为0，那么显然路径数=顶点数。每增加一条匹配边，那么路径覆盖数就减少一个，所以路径数=顶点数 - 匹配数。要想使路径数最少，则应最大化匹配数，所以要求二分图的最大匹配。
注意，此建模方法求最小路径覆盖仅适用于有向无环图，如果有环或是无向图，那么有可能求出的一些环覆盖，而不是路径覆盖。

原题要求输出方案，本校题库并未要求。方案即为$S$出发的所有满流边，每条满流边上的点。时间$O(n^{2}e)$。
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4、魔术球问题

转化为答案判定性问题，二分答案，把每个球看成一个点，如果这两个球可以相邻，就将这两个球连接起来，建立源点$S$和汇点$T$，就可以同上一题了。注意连接有向边时有序，可以小编号向大编号连边，亦可以从大往小连接。
原题要求输出方案，本校题库未要求。方案输出同上题。
时间复杂度$O(maxan{s}^{2}e{\log }_{2}maxans)$
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5、圆桌问题

最大流问题，建立源点$S$和汇点$T$，$S$向每个单位连流量为单位人数的边，每个单位向每张桌子连流量为$1$的边，每张桌子向$T$连流量为桌子容量的边，跑$S$到$T$的最大流。如果最大流与单位代表数相等，即为有解，否则为无解，若有解，对于每一个公司，若对于一张桌子满流则为有人坐这张桌子，输出之。时间复杂度为$O((n+m{)}^2(nm+n+m))$。此题有SPJ。
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6、最长递增子序列问题

请注意：这里的最长递增子序列指的是最长不降子序列！

第一问经典DP题，$O(n^2)$处理出以$i$为终点的最长递增子序列长度；
第二问最大流，对于一个位置拆成两个点$x,y$，$x,y$连接流量为$1$的边，建立源点$S$和汇点$T$，对于每个位置，如果它的$dp[i]=1$，由$S$向$i.x$连流量为$1$的边，如果它的$dp[i]=ans$（ans为第一问答案），则由$i.y$向$T$连流量为$1$的边，跑$S$到$T$的最大流；
第三问就是把$S$向位置$1.x$，$1.x$向$1.y$，$n.x$向$n.y$，$n.y$向$T$的边流量设为无穷大，再跑$S$到$T$的最大流。
时间复杂度为$O(n^2+n^4)$，显然数据并没有达到最坏复杂度，并且Dinic跑网络流速度玄学。
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7、试题库问题

类似圆桌问题的建边，建立源点$S$和汇点$T$，$S$向每个类别连接流量为需要题目数的边，每个类别向所属的题目连流量为$1$的边，每道题向$T$连流量为$1$的边。跑$S$到$T$的最大流。输出类似圆桌问题，同样有SPJ。
本校输出为：

输出组卷方案。如果有解则在第一行输出1，文件第$i+1$行输出类型$i$的题号。如果有多个满足要求的方案，只要输出1个方案。如果问题无解，则输出0。（为方便SPJ，输出与原题输出不同）

时间复杂度为$O((n+k{)}^{2}e)$
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8、机器人路径规划问题

大神题，至今没人用网络流解出（解出的都是错的…），可以网搜参考一些玄学IDA*等算法。数据可能有误。

9、方格取数问题

因为方格均需不相邻，所以将棋盘黑白染色，所有相邻格子的颜色互不相同，建立源点$S$和汇点$T$，如果为白点，$S$向这个点连流量为这个格子的数的边，如果这个点为黑点，这个点向$T$连流量为这个格子的数的边。然后这个点向四周的格子连边，注意只能白点向黑点连边，然后求全图最小割（其实就是$S$到$T$的最大流），然后用所有数字之和减去最小割即为答案。时间复杂度为$O((nm{)}^{2}e)$
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10、餐巾计划问题

最小费用最大流问题。对于每天拆成两个点$x,y$，$x,y$之间没有边。建立源点$S$和汇点$T$。对于每一天$i$，$S$向$i.x$连流量为该天需要餐巾数，费用为$0$的边，$i.y$向$T$连流量为该天需要餐巾数的边。对于$i+1\le N$的天，$i.x$向$(i+1).x$连接流量无穷大，费用为$0$的边，对于$i+m\le N$的天，$i.x$向$(i+m).y$连流量无穷大，费用为$f$的边，对于$i+n\le N$，$i.x$向$(i+n).y$连流量无穷大，费用为$s$的边，对于任意天，$S$向$i.y$连流量无穷大，费用为$p$的边。然后跑$S$到$T$的最小费用最大流即可。时间为$O(N{e}^2)$。
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11、航空路线问题

接着拆点，对于每个城市拆成两个点$x,y$，除了$1$号城市和$n$号城市，每个城市$i$的$i.x$向$i.y$连流量为1，费用为0的边，$1.x$向$1.y$连流量为2，费用为0的边，$n.x$向$n.y$连流量为2，费用为0的边，对于每条航线连接的两个城市$c1,c2$，规定$c1<c2$（如果大于就交换），如果$c1=1$并且$c2=n$，$c1.y$向$c2.x$连流量为2，费用为1的边，否则$c1.y$向$c2.x$连流量为1，费用为1的边。跑1到n的最大费用最大流。如果最后流量不为2，则无解，否则从1号城市开始的满流路径即为答案路径，费用为最长路径所经城市数。时间复杂度$O(n{e}^2)$。本题有SPJ。
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12、软件补丁问题（补丁VS错误）

二进制压状态，把每个二进制状态当做点，跑最短路即可。可以隐式建边，用二进制判断是否可以转移。网上题解多得是我就不说了。时间复杂度$O((n+m)2^n)$。
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这根本不是网络流啊。
CTSC1999太深了。（这是第一个）

13、星际转移问题

像魔术球问题一样，二分答案，变成答案判定性问题。首先判断是否有一条从地球到月球的路线，如果没有果断无解，这个判断可以并查集完成。
二分答案的判定靠最大流判，如果这个答案为$d$，则对于每个太空站$i$拆成$d+1$个点，分别为$0-d$天。记为$<i,d>$建立源点$S$和汇点$T$，对于每一天，$S$向$<0,d>$连流量无穷大的边，$<-1,d>$向$T$连流量无穷大的边，如果这天不是第0天，如果太空船第$d-1$天在$x$太空站，第$d$天在$y$太空站，则$<a,d-1>$向$<b,d>$连流量为太空船容量的边，对于每个太空站$i$，$<i,d-1>$向$<i,d>$连流量为无穷大的边。求$S$到$T$的最大流。
时间复杂度$O(v^{2}e{\log }_{2}maxans)$。
还是CTSC1999的题。
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14、孤岛营救问题

这TM不是拯救大兵瑞恩那道题吗（又又又是CTSC1999）（我出生那年的CTSC发生了什么…）。
潜入辛迪加做过吗？
没做过？
分层图，对于原图建立出$2^p$层，每层表示一种钥匙取得的状态。对于每个钥匙点，如果有状态没有获得这个钥匙，便可以由没有这个钥匙的状态转移到获得了这个钥匙的状态，代价为0。于是建边，边权为0。对于可以走到空地的格子，对于$2^p$层图都连边权为1的边，对于到达另一个格子需要钥匙，对于每一个已获得这种钥匙的状态，连边，边权为1。然后对这么多点跑个最短路即可。答案为可达$(N,M)$的状态中距离最小值。时间复杂度大概是$O(nm{2}^p)$。
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15、汽车加油行驶问题

接着分层图，建立$K$层图，记在地图上位置为$i$，剩余油量为$left$的状态为$<i,left>$，则建边如下：
1、如果油箱不满（$left<K$）且$i$为油库点，$<i,left>$向$<i,K>$连边权为$A$的边；
2、如果油箱不满（$left<K$）且$i$不为油库点，$<i,left>$向$<i,K>$连边权为$A+C$的边；
3、如果油箱不空（$left>0$）且$i$为油库点，$<i,K>$向$<j,K-1>$连边，如果在左下，则边权为$B$，否则边权为0；
4、如果油箱不空（$left>0$）且$i$不为油库点，$<i,left>$向$<j,left-1>$连边，如果在左下，则边权为$B$，否则边权为0。
然后就是求个最短路了…答案为$dis[<(n,n),i>]$的最小值。时间复杂度$O(n^{2}k)$。
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16、数字梯形问题

最大费用最大流问题，对于每个点$i$，拆点$x,y$，如果允许一个点走多次，则$i.x$向$i.y$连流量为无穷大，边权为数字的边，否则$i.x$向$i.y$连流量为1，边权为数字的边。然后向左下和右下连边，如果路径允许相交，则$i.y$向$j.x$连流量为无穷大，边权为0的边，否则$i.y$向$j.x$连流量为1，边权为0的边。建立源点$S$和汇点$T$，$S$向第一行的所有数$i.x$连流量为1，边权为0的边，对于可以路径相交，最后一行所有数$i.y$向$T$连流量为无穷大，边权为0的边，否则流量为1。然后求$S$到$T$的最大费用最大流。时间复杂度为$O(v{e}^2)$。
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17、运输问题

接着费用流，建立源点$S$和汇点$T$，$S$向每个仓库连接流量为货物数，边权为0的边，每个零售店向$T$连接流量为所需货物数，边权为0的边。对于每个仓库和商店，连接流量为无穷大，费用为转移花费的边，先跑$S$到$T$的最小费用最大流，再跑最大费用最大流。时间为$O((n+m)(nm{)}^2)$。
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18、分配问题

还是费用流，建立源点$S$和汇点$T$，$S$向每个人连接流量为1，边权为0的边，每个任务向$T$连接流量为1，边权为0的边。对于每个人和任务，连接流量为1，费用为工作费用的边，先跑$S$到$T$的最小费用最大流。时间为$O((n+m)(nm{)}^2)$。原题还得跑个最大费用最大流，本校不用跑这问。
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19、负载平衡问题

费用流（多少个了…），因为要使仓库的库存数量相同，所以这个数值便是仓库的库存数量的平均值，记平均值为$x$，建立源点$S$和汇点$T$，$S$向$i$仓库连接费用为0，流量为原库存量的边，$i$仓库向$T$连费用为0，流量为$x$的边，然后向前一个和后一个仓库连流量为无穷大，费用为1的边，跑$S$到$T$的最小费用最大流。时间复杂度为$O(n^3)$。
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20、深海机器人问题

费用流（好烦啊…），建立源点$S$和汇点$T$，一个点向下一个点连接两种边，一种为流量为1，费用为标本价值的边，另一种是流量为无穷大，费用为0的边。$S$向出发点连接流量为该点出发机器人个数，边权为0的边，结束点向$T$连接流量为该点结束机器人个数，边权为0的边，求最大费用最大流。时间复杂度为$O((PQ{)}^3)$。
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21、最长$k$可重区间集问题

接着费用流，其实是最大权不相交路径问题。离散化所有端点，建立源点$S$和汇点$T$，S向1点连接流量为$k$，边权为0的边，然后每个点向下一个点连接流量为无穷大，费用为0的边。对于每个线段，线段左端点向右端点连接流量为1，边权为线段长的边。最后的一个端点向$T$连接流量为$k$,费用为0的边，跑最大费用最大流即可。时间复杂度$O(n(m+n{)}^2)$。
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22、最长$k$可重线段集问题

Byvoid：这题和上一题一样。
其实是一样的……
注意斜率不存在的线段和直线重合，认为直线与线段有一个交点。
所以像上一题一样区间覆盖即可。注意斜率不存在的直线的处理方式，可以将左端点坐标减去 $0.5$ 再进行计算。
当然实现的时候是乘 $2$ 减 $1$。
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23、火星探险问题

费用流，对于一个位置拆成两个点$x,y$，对于一个位置$i$，如果这个位置是平地，则$i.x$向$i.y$连费用为0，流量为无穷大的边，如果这个位置为石块，再多连一条费用为1，流量为1的边，如果这个点为障碍，则这两个点之间连边。对于每一个点，$i.y$向$j.x$连流量为无穷大，费用为0的边，建立源点$S$和汇点$T$，$S$向$(1,1)$点连接流量为$k$，费用为0的边，$(Q,P)$向$T$连接流量为无穷大，费用为0的边。跑最大费用最大流。所有满流边构成多条满流路径，每条从S到T的路径就是一个探测车的路径。时间复杂度大概为$O((PQ{)}^3)$。本题有SPJ。
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24、骑士共存问题

类似于方格取数问题，先将棋盘黑白染色，题目中图片显示如果一个格子放了骑士，那么不能放骑士的格子颜色与这个格子不同。于是建立源点$S$和汇点$T$，$S$向白点（图片中黄点）连接流量为1的边，然后白点向不能走的黑点连流量为1的边，最后所有黑点向$T$连流量为1的边。这里出现的白点和黑点均需没有障碍。然后求个$S$到$T$的最大流，答案为所有可用的格子数减最大流。时间复杂度$O(n^{4}e)$
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