Miller_Rabin素数判定

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Miller_Rabin素数判定

对于素数判定，首先知道最朴素的方法——试除法。从2到sqrt(N)，复杂度O (sqrt(N))当然，如果把素数预处理出来，复杂度要优秀一些。由素数分布定理：对正实数x，定义π(x)为素数计数函数，即不大于x的素数个数，则有:

处理出素数以后，只试除2到sqrt(N)之间的素数，复杂度约为。然而对于较大的数还是无能为力，比如2333333333333333333。那么有一个更优秀的算法：Miller_Rabin算法。

首先要知道费马小定理：

已知n为素数，且a满足

那么，证明可以看一看神仙的博客，这里就不赘述了。

然而反过来不一定。比如著名的伪素数341，它满足，然而是一个合数，341=11*31。

1903年，马洛（Malo）证明：若n为伪素数，则

也是一个伪素数，从而肯定了伪素数的个数是无穷的。

 

等等，如果把底数换成除2以外和n互质的数呢？

呃呃，很可惜，还存在一种Carmichael数，对于所有正整数b，，都有同余式成立。比如561。

 

好吧，先看一个东西：二次探测——

对于素数p，满足    的同余类有且只有两个，   和  

通俗地讲，就是如果，那么x除以p，余数只可能是1或p-1。

如果x%p！=1或p-1且，那么x就一定是合数了。

证明也在神仙的博客，这里不赘述了。

 

看一下算法的大致流程：

如果是小一点的数，直接先用欧拉筛法预处理。

 

inline void linear_sieves(int n=maxn-10){
    mark[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!mark[i]) P[++cnt]=i;
        for(int j=1;((j<=cnt)&&(i*P[j]<=n));++j){
            mark[i*P[j]]=1;
            if(!i%P[j]) break;
        }
    }
}

对于没有筛到的大数，令其为n：

1.首先判断n是否为几个小素数的倍数。令这几个素数为P[1]~P[10]（就测前10个吧），因为要保证n与这个素数互质(费马小定理)。如果n是它们的倍数，直接返回false。

2.否则分解n-1.令,其中m为奇数。通俗地讲，就是把n-1中的2都提出来，求出q和m。

3.分别以P[1]~P[10]作为底数，利用费马小定理和二次探测来检验——首先，假设当前的底数为a。

4.如果有，那么对于一个质数，一定满足（二次探测）。如果不满足的话，一定是合数，直接return false。于是我们可以先算出，然后不断地平方，检验。

5.计算到最后，如果，即，才能说明是极大概率是质数。因为费马小定理是成为质数的必要非充分条件，就是说不满足费马小定理的一定是合数。通俗地讲，经历千辛万苦算到这一步，要是，还是只能安安静静地做一个合数。

5.如果这几个底数全部满足二次探测和费马小定理，那么恭喜这个数，极大极大的概率是一个质数。

复杂度的话，用龟速乘的上限是，其中k为测试的轮数，就是说用了几个素数为底数测试。

然而用神奇的快速乘就变成了。

该部分代码如下：

inline ll mul(ll a,ll b,ll mod){return (a*b-(ll)((long double)a/mod*b)*mod+mod)%mod;}
inline ll quick_pow(ll a,ll b,ll mod,ll ret=1){
    for(;b;b>>=1,a=mul(a,a,mod))
    if(b&1) ret=mul(ret,a,mod);
    return ret;
}
//P数组是用欧拉筛筛出的素数
//这里p代表作为底数的素数，n=(2^q)*m
inline bool check(int p,int q,ll m,ll n){
    ll num=quick_pow(p,m,n),pre=num;
    while(q--){
        num=mul(num,num,n);
        if(num==1&&pre!=1&&pre!=n-1) return false;
        pre=num;
    }return num==1;
}
inline bool isprime(ll x){
    if(x<=maxn-10) return !mark[x];
    for(int i=1;i<=10;++i) if(!x%P[i]) return false;
    int q=0;ll m=x-1;while(!(m&1)) m>>=1,q++;
    for(int i=1;i<=10;++i) if(!check(P[i],q,m,x)) return false;
    return true;
}

 

例题：HDU2138

代码：

#include
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn=1e5+10;
bitset mark;
int P[maxn],cnt,T,n,ans;
inline ll mul(ll a,ll b,ll mod){return (a*b-(ll)((long double)a/mod*b)*mod+mod)%mod;}
inline ll quick_pow(ll a,ll b,ll mod,ll ret=1){for(;b;b>>=1,a=mul(a,a,mod)) if(b&1) ret=mul(ret,a,mod);return ret;}
inline void linear_sieves(int n=maxn-10){
    mark[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;++i){
        if(!mark[i]) P[++cnt]=i;
        for(int j=1;((j<=cnt)&&(i*P[j]<=n));++j){
            mark[i*P[j]]=1;
            if(!i%P[j]) break;
        }
    }
}
inline bool check(int p,int q,ll m,ll n){
    ll num=quick_pow(p,m,n),pre=num;
    while(q--){
        num=mul(num,num,n);
        if(num==1&&pre!=1&&pre!=n-1) return false;
        pre=num;
    }return num==1;
}
inline bool isprime(ll x){
    if(x<=maxn-10) return !mark[x];
    for(int i=1;i<=10;++i) if(!x%P[i]) return false;
//(!(m&1))表示m为2的倍数。因为这表示m的二进制的最后一位为0。
    int q=0;ll m=x-1;while(!(m&1)) m>>=1,q++;
    for(int i=1;i<=10;++i) if(!check(P[i],q,m,x)) return false;
    return true;
}
inline int read(){
    int x=0;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)) ch=getchar();
    while(isdigit(ch)) x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0',ch=getchar();
    return x;
}
inline void print(int x){
    if(x>9) print(x/10);
    putchar(x%10+'0');
}
int main(){
    linear_sieves();
    while(~scanf("%d",&n)){
        ans=0;
        while(n--) ans+=isprime(read());
        print(ans),putchar(10);
    }
}