01 Trie

构造

01 Trie 一般是从高位向低位建树，因为高位的贡献大，方便贪心。

void add(int x) {
	int p = 0;
	for (int i = 30; i >= 0; i--) { //int
		int d = (x >> i) & 1;
		if (!trie[p][d]) trie[p][d] = ++cnt;
		p = trie[p][d];
	}
	val[p] = x;
}

查询

01 Trie 的查询一般是这样的形式：给定一个数 $x$，求与 $x$ 异或最大的数是多少。假设已经建立了所有数的 01 Trie，那么找这个数的复杂度近似 $O(1)$。因为异或的特征是相同为 $0$，不同为 $1$，所以从高位到低位，贪心地走不一样的路。

int query(int x) {
	int p = 0;
	for (int i = 30; i >= 0; i--) {
		int d = (x >> i) & 1;
		if (trie[p][d ^ 1]) p = trie[p][d ^ 1];
		else if (trie[p][d]) p = trie[p][d]; // ( ) 不要落了
	}
	return val[p];
}

删除

如何删除 Trie 树上的一个数字？只需要记录一个 $vis$，为经过某个点的数字的数量，删的时候沿途 $vis--$。在查询的时候，走 $vis>0$ 的点即可。

void update(int x, int k) {
	int p = 0; 
	for (int i = 20; i >= 0; i--) {
		int d = (x >> i) & 1;
		p = trie[p][d]; vis[p] += k;
	}
}

Trie 树合并

flag：如果用了 Trie 树合并，那么删除的复杂度可能会被卡到 $O(n)$。

给定一个数 $x$，求与 $x$ and、or 最大的数是多少。

那么还是从高到低建 01 Trie。以 and 为栗子，从高到低贪心时，如果当前位是 $1$，那么在树上就走 $1$。如果当前位是 $0$，那么 $1$ 和 $0$ 都可以，怎么办？

可以在建出字典树后，用类似线段树合并的方法，合并 Trie 树每个点的左右儿子，即为把 $0$ 变成 $01$ 的结合体。注意合并的顺序，先合并儿子。这样查询的时候，就放心往 $0$ 走就行了。

void merge(int &x, int y) {
	if (!x || !y) {
		x += y;
		return ;
	}
	merge(trie[x][0], trie[y][0]);
	merge(trie[x][1], trie[y][1]);
}
void dfs(int x) {
	if (trie[x][0]) dfs(trie[x][0]);
	if (trie[x][1]) dfs(trie[x][1]);
	merge(trie[x][0], trie[x][1]);
}
int query_and(int x) { 
	int p = 0, ans = 0;
	for (int i = 20; i >= 0; i--) {
		int d = (x >> i) & 1;
		if (d == 1 && trie[p][1] && vis[trie[p][1]] > 0) p = trie[p][1]; 
		else if (trie[p][0]&& vis[trie[p][0]] > 0) p = trie[p][0];
	}
	return val[p];
}

Trick

$$a\oplus b\oplus b=a$$

$$\forall x={\oplus }_{[1,l]},y={\oplus }_{[1,r]}\to {\oplus }_{l,r}=x\oplus y$$

$$\forall x={\oplus }_{(a,b)},y={\oplus }_{(b,c)}\to {\oplus }_{(a,c)}=x\oplus y$$

P4551 最长异或路径

将 ${\oplus }_{(u,v)}$ 转化成 ${\oplus }_u$ 和 ${\oplus }_v$。建立一棵字典树，枚举一个 ${\oplus }_u$ ，在字典树上贪心去找最大的 ${\oplus }_v$，并更新答案即可。

ZR956 集合

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相关内容 AT3913 XOR Tree

这一道题和 01 Trie 的关系不大，但关于异或的知识有许多。