[线性规划与网络流24题] 网络流常见模型

最近两个月在做《线性规划与网络流24题》这套题，加深了对网络流的理解。

涵盖到的模型有：二分图匹配、二分图的最大独立集、最大权闭合图、有向无环图的最小路径覆盖、最多不相交路径、最大权不相交路径、区间k覆盖、最短路。第13题涉及到与二分法的结合（其实也可以逐层枚举）。

二分图匹配

设二分图G=(V, E)的两个顶点集为X, Y。

• s->Xi，费用为0，按需赋容量。
• Xi->Yj，(Xi, Yj)属于E，费用为边权，按需赋容量。
• Yj->t，费用为0，按需赋容量。
  求（最小费用）最大流。

二分图的最小覆盖集

点权之和最小的覆盖集

• s->Xi，容量为点权。
• Xi->Yj，(Xi, Yj)属于E，容量为inf。
• Yj->t，容量为点权。
  求最小割，由最大流最小割定理，求解最大流即可。

定义不包含容量为inf的边的割为简单割。本网络中，最小割是简单割。

什么叫覆盖集？对于每条边，其两端点至少有一个被选中。割的性质是不连通：任何一条s-t路径上，至少有一条边属于割集。这里所有的s-t路径由3段构成，中间的Xi->Yj容量为inf，不属于简单割。因此，二分图的覆盖集和简单割一一对应。最小割是容量最小的简单割，也是点权之和最小的覆盖集。

对于不带权的二分图图，令所有点点权=1。以这种方式我们求出的是其最小覆盖集，也是其最大匹配。因而，我们证明了König定理：二分图的最大匹配等于最小覆盖。

顶点数最多且点权之和尽量大的覆盖集

• s->Xi，容量为1，费用为点权的相反数。
• Xi->Yj，(Xi, Yj)属于E，容量为inf，费用为0。
• Yj->t，容量为1，费用为点权的相反数。
  求最小费用最大流。

二分图的最大独立集

最小覆盖集和最大独立集是互补问题。

覆盖集：对于每条边，至少选一个端点，即至多不选一个端点。
独立集：对于每条边，至多选一个端点，即至少不选一个端点。

求最大独立集，等价于求其补集，也就是说每条边刨出至少一个端点，并且刨出的点的权和最小，这样才使剩下的最多。|最大独立集|+|最小覆盖集|=所有点的权值之和。

最大权闭合图

设正权点的集合为V+，负权点的集合为V-。

• s->u，u∈V+，容量为点权的绝对值。
• u->v，(u, v)∈E，容量为inf。
• v->t，v∈V-，容量为点权的绝对值。
  求最小割，用正权点减去割的容量即得最大的权。

可行性方面，简单割和闭合图一一对应。设简单割为[S, T]，S-{s}即为闭合图中的点。
简单割对应闭合图：反证。假设存在u∈S-{s}，v∈T-{t}，且(u, v)∈E。因为(u, v)∈E，所以网络N=(V’, E’)中存在(u, v)∈E’且c(u, v)=inf。又因为u, v分属s, t，所以这条边属于[S, T]，与简单割的假设矛盾。
闭合图对应简单割：反证。假设[S, T]不是简单割，那么存在u∈S-{s}，v∈T-{t}，且c(u, v)=inf。这只会当存在(u, v)∈E时发生，与闭合图的假设矛盾。

数量关系方面，最小割意味着最小化“刨开的正权+保留的负权的绝对值”。用正点权之和去减，得到“保留的正权-保留的负权的绝对值=保留的正权+保留的负权”。

有向无环图的最小路径覆盖

• s->Xi，容量为1。
• Xi->Yj，(i, j)∈E，容量上界为1。
• Yi->t，容量上界为1。

DAG的最小路径覆盖=|V|-对应二分图的最大匹配。

约束是什么？对路径的定义中，有至关重要的一点：允许长度为0。于是解的存在性得到了保证。因此，只需满足：对于任意一点，至多有一条与它关联的入边和与它关联的出边被选中。
二分图的匹配，可以从顶点对应的角度看待，也可以从边的角度看待：选出一些边，使得每个顶点至多与一条边关联。和本问题的约束对比，发现有向无环图不是二分图，并且对于顶点而言，边分为入边和出边两类。考虑把点i拆成Xi、Yi，入边连到Yi，出边从Xi出发。这样，问题的约束便和二分图匹配相一致。
目标是什么？使路径覆盖数最小。除了直接数，还能用什么来刻画路径覆盖数？头的数量或尾的数量。什么样的点是头？没有匹配边与对应的Yi关联。尾？没有匹配边与对应的Xi关联。所以，DAG的最小路径覆盖=|V|-对应二分图的最大匹配。

hzwer这儿有另一种更简洁的看待方法：

如果无匹配，显然要n条路径才能覆盖所有点，两个点匹配意味着将可以把它们用一条路径覆盖，路径数就可以减1

我还有一种另类看待方法：
带上下界的网络流。
Step 1
- s->Xi，容量上界为1。
- Xi->Yi，容量下界为1，上界inf。
- Yi->Xj，(i, j)∈E，容量上界为1。
- Yi->t，容量上界为1。
求解s-t最小流。

Step 2
看出一个可行流，于是省去通常求解s-t可行流的步骤。
网络变换为：
- Xi->s，容量上界为1。
- Yi->Xj，(i, j)∈E，容量上界为1。
- t->Yi，容量上界为1。
此网络的t-s最大流与原s-t可行流的叠加，即为原s-t最小流。s-t可行流的值为|V|，用|V|去减t-s最大流即可。

这种看待方法和hzwer的在实质上相同，但是是从形式上的变换得到的。

为什么强调DAG？因为我们只是简单地拆点、匹配，而没有在意这两点是否已经在同一条路径里了。比如，一个环，对应二分图的最大匹配为|V|，实际上，作为一条有始有终的“路径”，它是不能封口的。

最多/最大权不相交路径

在原图上改造，用容量1描述“不相交”的约束，用源、汇发出、接受的容量限制最大权不相交路径问题中路径的条数。若要求顶点也不相交，可采用拆点的手段给结点赋容量。

最短路

把状态看作顶点，状态的转移看作边，边权是转移的代价。如果一个问题有最优子结构、重叠子问题两个性质，令你很想使用动态规划方法，却苦于无法确定计算顺序，那么不妨尝试最短路模型。有时，用不着把图存起来，把转移写在最短路过程里即可。这样免去了分层图的一些麻烦，也提高了程序的时间效率。
状态是什么？哪些量能简洁而完整地刻画它？状态之间的转移关系是怎样的？

区间k覆盖

• 离散化。
• s->P1，容量为k，费用为0。
• Pi->P(i+1)，i

二分法

做过两道与之有关的题目：[HNOI2007]紧急疏散evacuate、[CTSC1999]家园。从刘汝佳老师的书上学习了“公平分配问题”。
前两题的一个共性是相对论的四维时空观：按时间拆点，体现了分层建图的思想。
可以通过比较流量和待分配的数目，判定此次尝试的成功与否。可以通过修改一些边的容量、修改图的层数，为新的一轮尝试做准备。
有时，无解的判定、二分上下界的确定成为问题。比如家园一题。我判定无解的方式是，先在三维空间内建图，判定地球、月球是否连通。如果连通，总存在一种方案拯救人类，因为可以等待。但是我估算的二分范围太松了，导致最后一组TLE。在题解的启发下，将上界和某常数取min……不少题解是枚举的，循环到某个常数便停止（说只是TLE和WA的区别……），于是便省去了估算范围这一步骤。由于增广路算法本身就是在一遍遍迭代，这样逐层枚举，由于先前的残存网络尚在，也取得了不错的时间效率。
在CodeVS 1034的题解页面还发现了一个费用流解法（Solution_ID:4685 by 6755），使人们走较近的路去月球，最后判断最后走过的从月球到汇点的边。但这样一开始就得建很多层图，需要对答案范围的敏锐感知。
提交记录里时间差异挺大的……有2ms，有几十ms，有像我这样上百ms。

参考和推荐

• 《线性规划与网络流24题 解题报告》by byvoid
• 《二分图最大匹配的König定理及其证明》by Matrix67
• 《最小割模型在信息学竞赛中的应用》by 胡伯涛