min-max容斥学习笔记

min-max容斥学习笔记

  • 前置知识

    二项式反演

    \[f(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}g(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}f(i) \]

  • 一些定义

    \(\max (S),\min (S)\)表示分别集合\(S\)的最大,最小元素

  • 套路式子

    \[\max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(T) \]

  • 证明

    首先我们先设一个容斥系数\(f(x)\)

    \[\max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}f(|T|)\min(T) \]

    设集合\(S\)\(n\)个元素,我们讨论第\(k\)小元素的贡献

    \[\sum_{i=0}^{n-k}\binom{n-k}{i}f(i+1)=[n-k=0] \]

    就是当这个元素成为最小值时另外再选几个比它要大的元素的方案,如果这个元素不是最大元素,要求不贡献

    \[F(n)=f(n+1),G(n)=[n=0] \]

    上式为

    \[G(n)=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}F(i) \]

    由二项式反演

    \[F(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}G(i) \]

    代回去

    \[\begin{aligned} f(n+1)&=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}[i=0]\\ &=(-1)^n\\ f(n)&=(-1)^{n-1} \end{aligned} \]

    所以有

    \[\max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(T) \]

  • 用处

    在期望意义下,这个式子依然成立,即

    \[E(\max(S))=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}E(\min(T)) \]

    下面给几个例题

  • 例题

    • HDU4336

      题意:有\(n\)个卡牌,每秒有\(p_i\)的概率抽到卡牌\(i\),求至少得到每个卡牌至少一张的期望时间

      min-max容斥有个套路思想就是化max为min,因为min一般比较好统计

      \(\max (S)\)表示集合\(S\)中最后一个获得元素的期望时间,\(\min (S)\)代表集合\(S\)中第一个获得元素的期望时间

      那么有上面的套路式子

      \[\max(S)=\sum_{\varnothing\not=S\subseteq T}(-1)^{|T|-1}\min(T) \]

      \(\min (T)\)就非常好求了

      \[\min(T)=\frac{1}{\sum_{i\in T}p_i} \]

      就是先把总概率算一下的事情

    • 「HAOI2015」按位或

      题意:初始有一个数\(0\),每秒有\(p_i\)的概率或(|)上整数\(i(i\in [0,2^n))\),求期望多少秒后数组变成\(2^n-1\)

      \(\max(S)\)表示最后一个或上去的期望时间,\(\min(S)\)同理

      式子随便套,考虑求出\(\min(T)\)

      \[\min(T)=\frac{1}{\sum_{S\cap T\not=\varnothing}p_S} \]

      考虑求底下的东西

      \[\begin{aligned} \sum_{S\cap T\not=\varnothing}p_S&=\sum_{S\subseteq U} p_S-\sum_{S\cap T=\varnothing}p_S\\ &=\sum_{S\subseteq U}p_S-\sum_{\overline S\cup T=\overline S}p_S \end{aligned} \]

      后面的东西取补集后是子集和的形式,我们可以\(FWT\)或者\(FMT\)\(2^nn\)内求出

    • 「PKUWC2018」随机游走

      题意:树上随机游走,给定起点,每次询问至少走过一次点集的期望时间

      直接套路上去考虑如何求\(\min (T)\),即第一次到达给定点集的期望步数

      \(dp_u\)表示\(u\)走到给定点集\(S\)的期望步数,\(d_u\)\(u\)点度数

      \(u\in S,dp_u=0\)

      否则

      \[\begin{aligned} dp_u&=\frac{dp_{fa}}{d_u}+\frac{\sum dp_v}{d_u}+1\\ &=A_udp_{fa}+B_u \end{aligned} \]

      就先把环状的转移和其他的分开搞一下,那么

      \[dp_u=\frac{dp_{fa}}{d_u}+\frac{\sum A_vdp_u+B_v}{d_u}+1 \]

      化简一下

      \[(1-\frac{\sum A_v}{d_u})dp_u=\frac{dp_{fa}}{d_u}+\frac{\sum B_v}{d_u}+1 \]

      把左边除过去就可以了

      这样的话我们可以\(n2^n\log 998244353\)处理出每个集合的\(\min(S)\)了,仍然可以预处理子集和

  • kthmax-min容斥

    \[kthmax(S)=\sum_{\varnothing\not=T\subseteq S}(-1)^{|T|-k}\binom{|T|-1}{k-1}\min(T) \]

    \(kthmax(S)\)表示集合中第\(k\)大的元素

    证明起来和普通的差不多

    设一个容斥系数\(f(n)\),统计\(n\)个元素中第\(x\)小的贡献

    \[\sum_{i=0}^{n-x}\binom{n-i}{i}f(i+1)=[n-x+1=k]\\ \sum_{i=0}^n\binom{n}{i}f(i+1)=[n=k-1]\\ f(n+1)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}[i=k-1]\\ f(n)=(-1)^{n-k}\binom{n-1}{k-1} \]

    • 例题

      重返现世

      题解

  • 参考资料

    【Learning】min-max容斥以及推广kth min-max容斥

    min-max容斥

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